том, что мы можем доказать это.
Математическое доказательство приводит к полной уверенности. В других сферах человеческой деятельности тоже используется слово «доказательство». Например, экспертиза ДНК способна доказать вину или невиновность подозреваемого. Точность этой экспертизы высока, но не идеальна. ДНК-следы, найденные на месте преступления, могут быть испорчены. Или вдруг у преступника обнаружится брат-близнец. ДНК-следы ничего не говорят о том, что́ совершил обвиняемый, даже если он действительно побывал на месте преступления.
В математике критерии истины и проверки на истинность абсолютны. Верные математические утверждения называют теоремами. Вот простой пример: Сумма двух нечетных целых чисел – четное целое число. Например, 3 и 11 – нечетные числа, а их сумма 3 + 11 = 14 – четное число. Утверждение о том, что сумма двух нечетных чисел – четное число, имеет абсолютную силу и не допускает исключений.
Откуда мы это знаем? Мы можем снова и снова придумывать пары нечетных чисел и всякий раз убеждаться в том, что их сумма – четное число. Так работают естественные науки, но не математика. Мы абсолютно уверены, что теорема верна, потому что можем привести доказательство.
Чтобы не быть голословным, приведу это доказательство здесь. Вначале нам нужно точно договориться, что значит «четное» и «нечетное». Вот определения:
• Целое число X называется нечетным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a + 1. Например, 13 – нечетное число, потому что его можно выразить как 2 × 6 + 1.
• Целое число X называется четным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a. Элегантная формулировка: четное целое число – результат удвоения другого целого числа. Например, 20 четное, потому что 20 = 2 × 10.
После этих определений мы можем перейти к доказательству теоремы о том, что сумма двух нечетных целых чисел – четное число[11].
Доказательство. Пусть X и Y – нечетные целые числа. Это означает, что X = 2a + 1 и Y = 2b + 1, где a и b – целые числа. Сумма X и Y может быть представлена следующим образом:
X + Y = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2 (a + b + 1).
Итак, X + Y представляет собой удвоенное целое число. Таким образом, X + Y – четное число.
Доказывать теоремы непросто, но это гораздо увлекательнее, чем читать чужие доказательства, потому попробуйте доказать следующее: результат перемножения двух нечетных целых чисел – тоже нечетное число. Попытайтесь справиться с задачей самостоятельно, а потом сверьтесь с доказательством в конце раздела[12].
Другие математические теоремы гораздо интереснее, а их доказательства гораздо сложнее, но цель у них все та же: обосновать математический факт со стопроцентной уверенностью.
Итак:
Теорема – это математическое утверждение, требующее доказательства своей неопровержимой истинности.
Интересные теоремы красивы. Надеюсь, этот «Путеводитель» поможет вам видеть математическую