Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.

      DEFINICIÓN 1.4. Una función f : [a, b] → es integrable en el sentido de Riemann si . Su integral es entonces

      Llamamos el conjunto de tales funciones f.

      PROPOSICIÓN 1.1. Si f es una Junción en , su integral satisface la desigualdad

      Demostración. Sean . Entonces:

      En un ejercicio al fin del capítulo estudiaremos en qué caso se tiene la igualdad en (1.42).

5. Comentarios

      Observemos que los tres procedimientos del “arte de medir” analizados en este capítulo: cálculo de sumas de series, cálculo de superficies, integración en el sentido de Riemann, descansan en propiedades básicas relativamente simples.

      En primer lugar, hemos visto que los conjuntos que pueden ser medidos, satisfacen ciertas propiedades con respecto a las operaciones usuales sobre conjuntos. Lo mínimo necesario corresponde a la estabilidad para reuniones e intersecciones finitas (por ejemplo, la reunión finita de conjuntos con superficie posee superficie).

      En segundo lugar, la aplicación que mide los conjuntos debe ser creciente, en el sentido de la inclusión de conjuntos: si un conjunto con superficie contiene a otro, la superficie del primero es mayor que la del segundo.

      En tercer lugar, es necesario establecer una regla para medir una reunión finita de conjuntos (ver (S2)).

      Finalmente, es necesario un “buen comportamiento” con respecto a límites crecientes y decrecientes de conjuntos. Estas últimas son propiedades llamadas de continuidad inferior y superior cuyo sentido riguroso se estudiará más tarde, (ver (S4) y el ejercicio 1.3).

      Estas ideas básicas nos acompañarán a lo largo de este volumen: constituyen los pilares de la teoría de capacidades y de la medida. Respecto a la primera, la teoría de capacidades, que no constituye requisito para los cursos básicos de Análisis e Integración, hemos reservado un capítulo anexo al final del libro para quienes deseen tener una introducción al tema.

      Para el lector interesado en seguir el desarrollo histórico de la teoría de la integración, se recomienda la lectura del excelente libro de Pesin [39], que pasa en revista los pasos dados en su formalización.

6. Ejercicios propuestos

      1. Sea f una función continua definida sobre el intervalo compacto real [a, b] y con valores en .

      a) Se supone f positiva y . Probar que f es nula.

      b) Se supone que para todo n , la integral es nula. Probar que f es nula.

      2. Sea z \{0}: z se escribe en la forma z = |z|exp(iArg z) con 0 ≤ Arg z < 2π; Arg z es el argumento de z.

      a) Sea z₁ = u₁ + iv₁ y z₂ = u₂ + iv₂ dos elementos de . Probar que:

      y que la igualdad significa ya sea z₁z₂ = 0 o bien Arg z₁ = Arg z₂ módulo π.

      b) Probar que si f es una función compleja continua definida sobre [a, b], entonces la igualdad

      significa que el argumento de f es constante sobre el conjunto {t ]a, b[; f(t) ≠ 0}.

      Enseguida probar que si se tiene la igualdad:

      entonces f es constante sobre [a, b].

      3. Sea f una función de en , periódica, de período 2π, integrable en el sentido de Riemann sobre [0,2π]. Sus coeficientes de Fourier están dados por la expresión:

      Sea

      a) Probar que |a_n| ≤ M para todo n .

      b) Se supone f continua. ¿Bajo qué condición se puede tener |a_n| = M ?

      4. El propósito de este ejercicio es probar el llamado “Teorema Fundamental del Cálculo”, que relaciona primitivas e integrales de una función.

      a) Sea f una función integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b]. Se define F sobre [a, b] mediante la expresión:

      Probar que F es continua en cada punto x [a, b].

      b) Si el conjunto D_f de discontinuidades de f es finito, probar que F es derivable en ]a, b[\D_f, y se tiene: F′(x) = f (x) para todo x ]a, b[\D_f. F es una primitiva de f, mejor aún, es la única que se anula en a.

      FIGURA 1. Pitágoras, 570 a.C.– 469