ограниченна;
3) пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и
, тогда сходятся и последовательности {cxn} (c = const) {an ± bn} {an × bn} {an / bn} (в случае частного B ≠ 0, bn ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}. Тогда если последовательности {an}, {bn} таковы, что an ≤ (≥) bn, то
(данное утверждение неверно для строгих неравенств).Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}, {cn}. Тогда если an ≤ bn ≤ cn и последовательности {an} и {cn} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {bn} тоже сходится к тому же пределу:
.Следствия:
1) если все члены сходящейся последовательности {an} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное),
;2) если все элементы сходящейся последовательности {an} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {an} лежит на данном отрезке,
;3) если все члены сходящейся последовательности {an} an ≤ (і) В, то
, где В – некоторое число.Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {an}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.
12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами
Числовым рядом называется выражение
ai = а1 + а2 +…+ аn +…, где ai (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число Sn = а1 + а2 +…+ аn =
ai.Из частичных сумм можно образовать последовательность S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3 и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается
. Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.
. Пусть даны два ряда an и bn. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (an + bn), при умножении получается ряд an на число с будет ряд can (с – вещественное или комплексное число). Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы