La teoría de números que ocupa en las matemáticas un lugar fundamental (análogo al lugar que ocupan las matemáticas en las ciencias) fue cuestionada en sus fundamentos cuando se demostró que era posible medir y comparar dos conjuntos de números infinitos. La comparación permitió concluir que un infinito era mayor que otro.
La geometría acostumbrada a las formas perfectas de la geometría euclídea se vio sacudida por geometrías que no respondían a nuestra percepción cotidiana del espacio.
Para ilustrar la tensión esencial, se describirán algunas de las anomalías que auguraban la crisis que se cerniría sobre el paradigma clásico durante el siglo XX. Tal como ocurrió en el siglo último pasado, quienes generaron momentos de rupturas cruciales en el siglo XIX no asumieron en toda su radicalidad las conclusiones ontológicas y epistemológicas implícitas en sus descubrimientos.
Sin embargo, son hitos insoslayables en la evolución del conocimiento científico y promueven el posterior cuestionamiento al paradigma clásico.
El primer fractal
Weierstrass, considerado padre del análisis moderno (Bell 1996), se propuso estudiar curvas irregulares en todos sus puntos. Curvas con la forma dentada del filo de un serrucho.
La particularidad de tales curvas es que siendo continuas no tienen derivada. La función de Weierstrass es continua y no es derivable en ningún punto –sorprendentemente no tiene tangente.
El descubrimiento de tales curvas implicó un completo examen de los fundamentos del análisis. Suscitaban profunda aprehensión en la comunidad de matemáticos abocados a la tarea de aritmetización del análisis. Según Colette (1998), Hermite habría escrito: “Me alejo con espanto y horror de esta plaga lamentable de funciones continuas que no tienen derivada”.
Para el estudio de la complejidad, la célebre función de Weierstrass resulta de particular interés. Su representación gráfica da lugar a un objeto fractal. Su descubrimiento se realiza 100 años antes que Mandelbrot desarrollara la geometría fractal. Dispositivo clave para estudiar complejidad.
Alef–cero
La idea de infinito es difícil de aprehender y conceptualizar porque está más allá de toda experiencia humana. El descubrimiento de los números transfinitos se produce cuando Cantor demuestra que no existe correspondencia uno a uno entre distintos conjuntos de números infinitos, quedando en evidencia que existía diferencia en infinitud entre dos conjuntos infinitos.
Para llegar a una conclusión tan contraintuitiva introdujo el término numerable para designar todo conjunto que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de números reales. Demostró que todo subconjunto infinito de los números reales también es numerable. Por ejemplo, el conjunto de los números cuadrados perfectos.
Comparando series teóricamente infinitas de distintos conjuntos de números –números reales y números impares o números reales y números racionales– descubrió que era posible establecer distintos tamaños de infinito. Las investigaciones de Cantor lo llevaron a una conclusión que en su momento resultó un despropósito y actualmente es provocadora. A saber, que hay infinitos infinitos. Se demuestra que para cualquier número transfinito existe un número mayor.
Para los matemáticos de la fecha, series infinitas de distinta magnitud eran monstruos de la matemática. Según Pagels (1991), muchos matemáticos pensaron que Cantor estaba loco (murió en un sanatorio para enfermos mentales). Fue desconocido por su antiguo maestro Kronecker y vilipendiado por Poincaré, una autoridad de primer nivel.
Posteriormente se reconoció a la teoría de conjuntos desarrollada por Cantor como el marco unificador para toda la matemática moderna.
Espacio curvo
La geometría euclídea es la matemática del espacio cotidiano. Corresponde a la estructura del espacio percibida mediante los sentidos. Los Elementos de Euclides es la obra matemática –no dedicada solo a geometría– que sustentó el desarrollo y la enseñanza matemática hasta fines del siglo XIX. Según Kline (1992), en los Elementos está la génesis del método axiomático deductivo, que es la piedra angular de la matemática como ciencia formal.
Las geometrías no euclídeas se desarrollaron problematizando el quinto postulado formulado por Euclides. La incapacidad de demostrar el postulado de las paralelas promovió la generación de una geometría alternativa en Bolyai, Lobatchevki y Riemman.
La propuesta de Riemann cambió de raíz todo el enfoque del razonamiento deductivo al modo de Euclides. Riemann propuso una geometría esférica apropiada para describir espacios curvos n dimensionales.
La geometría de Riemann permite estudiar la curvatura del espacio, que es condición para el desarrollo de la teoría de relatividad general. Técnicamente la relatividad general se conoce como teoría geométrica de la gravedad.
Cabe destacar que las anomalías del siglo XIX son apenas una pálida muestra de los problemas extraordinarios con soluciones imposibles que serían abordados en las décadas siguientes. Preguntas y resultados que imponen de facto la complejidad en la lógica, la materia, la teoría y la realidad.
Puntos de inflexión. Nuevas trayectorias
Las ciencias sociales no se pueden pensar como un coto cerrado. Resulta imperioso considerar las grandes novedades científicas que afectan nuestra comprensión del mundo.
El punto de inflexión generado por la relatividad, la complementariedad, la incertidumbre y la incompletitud generan un cambio de trayectoria que no solo ha cambiado las preguntas, sino también los problemas, los objetos, los parámetros, la lógica, los conceptos, las dimensiones y los procedimientos de la investigación y la ciencia.
La complejidad de lo real queda instalada cuando son problematizados radicalmente el tiempo y el espacio, la materia y los sistemas formales.
Para ilustrar el cambio de trayectoria visitamos brevemente los episodios que generaron un antes y un después en la comprensión del mundo.
Inflexión relativa
Nuestra experiencia cotidiana nos indica que el espacio y el tiempo son dos entidades separadas continuas e infinitas.
La relatividad especial se funda en una idea sorprendente. A saber, que el espacio y el tiempo en conjunto forman una sola identidad tetradimensional. Geométricamente significa agregar una cuarta variable t a las tres variables de espacio x, y, z.
Se reemplaza la idea de un espacio tridimensional y un tiempo absoluto independiente por una entidad contraintuitiva que subyace a la realidad fenoménica. A saber, el continuo espacio–tiempo. El tiempo no existe disociado del espacio y el espacio no existe sino en el tiempo.
Se demuestra que el tiempo es relativo. El tiempo transcurre más despacio en un sistema de referencia en movimiento respecto a un sistema en reposo.
Se demuestra que la masa de un cuerpo es relativa. La masa crece en conjunto con la velocidad tendiendo a una magnitud ilimitada cuando la velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Se demuestra que el tiempo se detiene a la velocidad de la luz.
La noción de tiempo relativo no permite concluir que éste sea una entidad puramente subjetiva. Tiempo y espacio, como todos los procesos de la naturaleza, existen en y por sí mismos.
La relatividad general fue desarrollada posteriormente para explicar el movimiento de planetas y estrellas. En rigor es una alternativa a Newton asumiendo la existencia del continuo espacio–tiempo.
Se demuestra que la dimensión espacio–tiempo se curva en presencia de la materia. A saber, el espacio y el tiempo se curvan en presencia de un campo gravitatorio.
La luz de naturaleza