Modelos discretos en epidemiología. Paula Andrea González Parra

t + 1 está dado por la función

      donde β representa la probabilidad de una nueva infección, por tanto el número de individuos susceptibles en el día t + 1 está dado por la ecuación

      Así pues, 1 Gt representa la fracción de individuos que eran suscetibles y son infectados en el tiempo t + 1. No se consideraron muertes debidas a la enfermedad; se asume que la probalilidad de que un individuo se recupere de manera natural está dada por σ (por generación). Por tanto el número de individuos infectados el día t + 1 está dado por los que eran susceptibles el día t y se infectaron, más los que estaban infectados el día t y no se recuperaron, así:

      Finalmente el número de individuos recuperados el día t+1 está dado por los que ya estaban recuperados el día t más los que estaban infectados y ya se recuperaron.

      Teniendo en cuenta las consideraciones y definiciones dadas, el modelo está dado por el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:

      La Figura 1.2 muestra una representación de la dinámica de la enfermedad.

       Diagrama modelo discreto SIR

      Figura 1.2: Diagrama de flujo compartamental para el modelo discreto SIR.

      A continuación se presenta el Número Reproductivo Básico R₀, el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles.

1.2. Número Reproductivo Básico R0

      Para calcular el valor del Número Reproductivo Básico R₀, se tiene en cuenta la relación del tamaño final de la epidemia, dado en [1]

      De la ecuación (1.2),

      De donde

      Calculando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad se obtiene

      De donde

      Pero , entonces

      De donde se obtiene que

      Ahora, de la ecuación (1.3)

      It₊₁ – (1 – σ) It = St – StGt

      Pero StGt = St₊₁, por tanto

      It₊₁ – (1 – σ) It = St – St₊₁

      Sumando desde t = 0 hasta n se obtiene

      De donde

      Así que

      Se tiene que S₀ + I₀ = N, además cuando t → ∞, It₊₁ → 0, entonces

      Es decir,

      De la ecuación (1.7), se tiene que , entonces

      Por lo tanto

      De donde se obtiene la relación del tamaño final de la epidemia dada en (1.6)

      Obteniendo así el Número Reproductivo Básico R₀

      Note que β es la probabilidad de una nueva infección y es el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso, lo cual da un sentido biológico al Número Reproductivo Básico obtenido.

      A continuación se presentan resultados de algunas simulaciones del modelo realizadas en MatLab.

1.3. Resultados numéricos

      En esta sección se presentan resultados de algunas simulaciones para diferentes valores de los parámetros. Sea (probabilidad de que un individuo se recupere de manera natural), así que el tiempo esperado de una persona en estado infeccioso será de siete días. Se toman diferentes valores del parámetro β (probabilidad de una nueva infección), obteniendo así diferentes valores de R₀. Tomamos como valores de β : 0,1, 0,3 y 0,5.

      Las figuras 1.3 y 1.4 muestran el comportamiento de los individuos susceptibles, infectados y recuperados para R₀ = 0,7, R₀ = 2,1, y R₀ = 3,5. Note que cuando R₀ < 1 (Figura 1.3) pocas personas son infectadas y la enfermedad desaparece rápidamente. Por el contrario cuando R₀ > 1 (Figura 1.4) la enfermedad se extiende en la población, llegando a infectar a un buen número de individuos, si no se toman las medidas de control necesarias las