с одного из самых важных шорткатов, разработанных математиками, – паттернов[4]. Паттерн часто бывает лучшим из всех шорткатов. Увидев паттерн, можно найти шорткат, позволяющий экстраполировать данные в будущее. Такая способность выявлять фундаментальные правила образует основу математического моделирования.
Роль шортката очень часто состоит в понимании основополагающего принципа, объединяющего кажущиеся несвязанными друг с другом задачи. Прелесть шортката Гаусса в том, что даже если учитель решит усложнить задание и предложит сложить числа до тысячи или до миллиона, шорткат по-прежнему будет работать. Последовательное сложение чисел будет занимать все больше времени, но на прием Гаусса это никак не повлияет: чтобы сложить числа от единицы до миллиона, нужно просто по-прежнему разбить их на пары и получить 500 000 пар, сумма членов каждой из которых равна 1 000 001. Перемножим эти два числа, и – бинго! – ответ готов. Представьте себе туннель, образующий короткий путь сквозь гору: если даже гора каким-то образом станет выше, на дороге это никак не отразится.
Способность создавать и изменять язык тоже оказывается очень эффективным шорткатом. Алгебра помогает нам распознавать фундаментальные принципы, лежащие в основе широкого спектра совершенно не похожих друг на друга задач. Язык координат позволяет выразить геометрию в числах и часто выявляет шорткаты, которых не видно на геометрических чертежах. Создание языка может быть поразительным средством понимания. Я помню, как боролся с необычайно сложной системой, описание которой требовало огромного множества условий. Откровением стал для меня совет научного руководителя: «Дайте ей название». Это позволило мне создать шорткат для размышлений.
Каждый раз, когда я заговариваю об идее шортката, мои собеседники неизменно считают, что речь идет о каком-то жульничестве. Что я пытаюсь срезать какие-то углы. Поэтому очень важно с самого начала научиться отличать шорткаты от срезания углов. Я ищу более рациональный путь к правильному решению. Меня не интересуют всякие некачественные приблизительные ответы. Я хочу добиться полного понимания, но избежать ненужной тяжелой работы.
При этом некоторые шорткаты сводятся к приближениям, достаточно точным для решения насущных задач. В некотором смысле сам язык – это тоже шорткат. Например, слово «стул» – шорткат к целой группе разного рода вещей, на которых можно сидеть. Но придумывать по отдельному слову для каждого конкретного стула было бы нерационально. Язык – это очень хитрое низкоразмерное представление окружающего нас мира, которое позволяет нам эффективно общаться друг с другом и облегчает наше существование в многогранном мире. Не будь у нас шорткатов – слов, каждое из которых обозначает множество предметов, – мы тонули бы в шуме.
Дальше я покажу, что и в математике для обнаружения шортката часто бывает важно отбрасывать информацию. Скажем, топология – это геометрия без размеров. Если вы находитесь в лондонском метро, карта,