принадлежать или не принадлежать данному множеству. Множество можно задать, например, перечислив все его элементы. Еще вариант – назвать некоторое характеристическое свойство, которому удовлетворяют все элементы данного множества и только они. Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, а конечное – из конечного. Подмножество данного множества включает некоторую часть его элементов. Очевидно, что множество является подмножеством для себя самого. Пустое множество не содержит ни одного элемента. Принято рассматривать также универсальное множество – оно включает элементы всех множеств, которые рассматриваются в конкретной ситуации. Универсальное множество это все, а пустое – ничего. Дополнение к некоторому множеству включает только те элементы, которые этому множеству не принадлежат. Множество и его дополнение вместе образуют универсальное множество. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
2.2. Операции над множествами
Что будет если объединить два множества? Это зависит от того, каким образом мы определим операцию объединения (или сложения) для двух множеств.
Под объединением двух множеств мы будем понимать новое множество, состоящее из элементов первого или второго множества. Союз «или» означает, что в объединение попадают также те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно, но в итоговой сумме эти каждый из этих элементов будет представлен один раз.
Пересечение двух множеств представляет собой третье множество, состоящее из элементов, которые являются одновременно элементами и первого, и второго множества. Пересечение может оказаться пустым, если множества не пересекаются. Операцию пересечения двух множеств называют еще их произведением.
Разность двух множеств представляет собой множество, которое содержит элементы первого множества и не включает элементы второго. Мы вычитаем, тем самым, второе множество из первого и получаем новое множество, называемое их разностью. Можно рассмотреть также еще одну операцию – дополнения одного множества по отношению к другому. В дополнение попадают те элементы второго множества, которые не являются элементами первого.
Операции над множествами для наглядности принято изображать при помощи диаграммы Эйлера. Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Позже эту идею развил английский логик Джон Венн.
Между двумя множествами можно устанавливать соответствие, когда всем или некоторым элементам первого множества ставятся в соответствие какие-то элементы второго множества. При этом одному элементу первого множества, вообще говоря, может соответствовать один или несколько элементов второго, или не соответствовать ни один из элементов.
Взаимно-однозначное соответствие между множествами устанавливается в том случае, если каждому элементу первого множества устанавливается в соответствие один и только один элемент второго и наоборот. Если между между двумя конечными множествами установлено взаимно-однозначное соответствие, то это означает, что они состоят из одинакового