Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

временной интервал будет пропорционально разности между

 и

. То есть

. Этот экспериментальный факт иногда называют законом Фика.

      а. В каком диапазоне должен быть параметр

, чтобы эта модель имела смысл?

      б. Используя тот факт, что

.

      в. Для

?

      г. Алгебраическим путём найдите точку равновесия

 и

) для этой модели. Согласуется ли это с тем, что вы видели в части (в)? Можете ли объяснить результат интуитивно?

      д. Пусть

. Перепишите модель в виде зависимости от

, отклонения значений от точки равновесия, путем подстановки в

 и дальнейшего упрощения полученного выражения.

      е. Используйте часть (д), чтобы найти формулу для

 , а затем для

. Убедитесь в том, что формула дает те же результаты, что и машинный эксперимент в onepop.m.

      ж. Можно ли модифицировать модель так, чтобы описывалась диффузия между двумя отсеками разных размеров?

      Проектные работы:

      1. Предположим, что численность выпускников математических факультетов, трудоустраивающихся по специальности, имеет динамику, хорошо моделируемую дискретным разностным уравнением

.

      Конечно, динамика этой численности всегда будет зависеть от значения

, но, выбрав соответствующие единицы измерения, можно зафиксировать

. Исследуйте влияние регулярного сокращения таких сотрудников при двух различных типах предположений.

      а.

, где

 – некоторое фиксированное число сотрудников, сокращаемых на каждом этапе времени, например, ежегодно.

      б.

, где

 – некоторый фиксированный процент сотрудников, сокращаемых на каждом временном этапе (

).

      Рекомендации

       Чтобы почувствовать модели, исследуйте тему с помощью onepop.m из задачи 1.2.4 для множества разумных вариантов параметров. Опишите любое необычное поведение модели и попытайтесь его объяснить.

       Рассчитайте аналитически равновесия (которые могут быть выражены через

 и

 и

 или

).

       Объясните равновесие и стабильность с точки зрения паутинных диаграмм. Какое влияние оказывает вычитание

 и

 на паутинную диаграмму логистической модели?

       Постарайтесь найти наибольшее