для первого миллиарда последовательностей самым частым значением оказывается единица, 29,94% всех случаев, 2 – 17,47%, 3 – 12,09%, 4 – 10,63%, 5 – 7,94%, 6 – 6,16%, 7 – 5,76%, 8 – 5,31%, 9 – 4,7% и чем цифра больше, тем реже она оказывается впереди.
Подобный расклад характерен не только для чисел-градин, примером много, это и население стран, и стоимость компаний, все физические константы или числа Фибоначчи, и много чего ещё. Этот закон называется законом Бенфорда. Удивительно, но если проследить в налоговых декларациях нарушение закона Бенфорда, можно даже определить факт мошенничества. Этот закон также помогает определить аномалии при подсчёте голосов на выборах или многом другом.
Самое лучшее действие этого закона происходит тогда, когда числа, вводимые в нём, имеют разброс в несколько порядков, как в данном случае, но закон Бенфорда, к сожалению, не может сказать, все ли числа попадают в конце в цикл 4-2-1. Для этого нужно использовать другой метод. Изначально странно, что этот алгоритм приводит все числа к 1, учитывая, что чётных и не чётных чисел поровну и не чётные возрастают более чем в 3 раза, а чётные уменьшаются в 2 раза.
Тут напрашивается вывод о том, что все последовательности по идее должны идти вверх, а не вниз. Но стоит обратить внимание и на то, что всегда, когда производиться операция с не чётным числом, то есть, когда его умножают на 3 и прибавляют 1, оно обязательно превращается в чётное, следовательно, следующим шагом он всегда будет делиться на 2. Получается, что не чётные числа не утраиваются, а умножаются на (3x+1) /2 или точнее на 1,5, ибо 0,5 для больших чисел можно игнорировать. Значит максимальный рост из этого составляет именно 1,5.
Ранее уже был приведён график для всех чисел от 1 до 100, но стоит рассмотреть небольшой случай для всех не чётных чисел. Как известно, во втором шаге они превращаются в чётные значения, а затем ровно половина из них сразу приведён, после деления опять же к не чётному. Но каждое 4 число, придётся делить на 2 дважды, значит, уже эти не чётные числа это ¾ от предыдущего. Каждое 8-е число придётся делить на 2 трижды, чтобы получить не чётное. Каждое 16 четырежды и т. д.
Так взяв, среднее геометрическое, можно увидеть, что для того, чтобы добрать от одного не чётного числа до другого через все чётные числа, нужно умножить его на ¾, что меньше единицы, отсюда и получается, что статистически, эта последовательность уменьшается чаще, чем растёт.
Приведём пример для большого числа, к примеру 341. Его ряд выглядит следующим образом:
341 – 1024 – 512 – 256 – 128 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1.
У него было только одно не чётное и все чётные числа, чем этот ряд и примечателен. Однако, можно их изображать, как в виде графиков, так и в виде деревьев, показывая, как одно из чисел связано с последующим в своей последовательности, создавая граф.
И если гипотеза верна, значит любое число должно оказаться в этом огромном графе, состоящее в бесконечном количестве «ручейков» образуя в одном потоке цикла 4-2-1. Существует