atematik
Yazarın diğer kitapları:
I Used to Know That: Maths
(Eskiden Matematiği Böyle Bilirdik)
Sıfırdan Sonsuza Matematiğin Öyküsü
GİRİŞ
Bu kitaba, matematiğin her yerde olmasına rağmen öneminin yeteri kadar anlaşılmadığı hakkında sızlanarak başlayabilirdim. Bu doğru, ancak bana kalırsa bunu zaten daha önce de duymuşsunuzdur ve bu kitabı seçme nedeniniz de muhtemelen bu değildir.
Ya da matematikten anlamanın veyahut matematikte iyi olmanın, özellikle de teknoloji hayatlarımızda her geçen gün daha baskın bir rol oynadığı için, iş piyasasında müthiş bir avantaj sağladığından da bahsederek söze başlayabilirdim. Matematiğe kafası basan insanlar için harikulade mesleklerin olduğu doğrudur, ancak dürüst olmak gerekirse bu kitap size bunlardan birini sağlamayacaktır.
Bunun yerine, sizlere matematik alanındaki becerinin öğrenilebileceğinden bahsederek başlamak istiyorum. Çoğumuzda bir matematik korkusu vardır. Bu bir hastalık gibidir ve bu korkuyu daha önce kendilerine bulaşmış diğer insanlardan kapmaktayız. Ebeveynimiz, arkadaşlarımız ve hatta öğretmenlerimiz bile olası taşıyıcılar olup matematiğin sadece şanslı ve bu işe yatkın bir beyinle doğmuş bir grup seçkin insan için anlaşılabilir bir şey olduğunu düşünmemize neden olmaktalar. Bu seçkin bireyler hiçbir çaba sarf etmeden matematiksel işlemleri yapabilirler ve genellikle de bizim kendimizi aptalmış gibi hissetmemize neden olurlar.
İşte bu doğru değil.
Eğer isterse, herkes matematik öğrenebilir. Evet, doğru, bu iş herhangi bir beceri gibi biraz zaman ve çaba gerektirir. Evet, bazıları diğerlerine göre daha hızlıdır, ancak bu durum öğrenmeye değer çoğu şey için de geçerlidir. Meşgul olduğunuzu biliyorum, bu yüzden de kitabın önceliği size kolayca yutulur lokmalar sunmak. Konuları kademeli olarak öğrenebilir, her birini bir öncekinin üzerine inşa edebilir ve böylece de etrafımızı çevreleyen dünyayı gerçekten de izah eden kavramları çok çaba sarf etmeden belleğinize yerleştirebilirsiniz.
Kitabı birkaç bölüme ayırdım. Temel konuların birçoğunu zaten okulda eğitim aldığınız dönemlerden hatırlayacaksınız, ancak asıl amacım matematiğin muhtemelen daha önce görmediğiniz gerçek anlamda lezzetli parçacıklarının tadına hızlı lokmalarla varmanızı sağlamak. Kitabı en başından başlayıp sonuna dek okuyup bitirebilir ya da dilediğiniz zaman, belki de canınız çektikçe arada bir göz atabilirsiniz. Yani kısacası kitabı aynı zamanda hem altı çeşitlik bir yemek hem de açık büfe bir öğün olarak görebilirsiniz.
Ayrıca arada yemeğinizin tadı tuzu olsun diye ile keşiflerin nasıl ve kimler tarafından yapıldığına, bu sırada nelerin ters gittiğine dair kısa hikâyeler de ekledim. İlginç ve eğlenceli olmasının yanı sıra bu hikâyeler, bize matematiğin atalarımızın hayata nasıl yaklaştıkları konusunda birçok şey anlatan hayat dolu bir alan olduğunu anımsatmaktadır. Kitap ayrıca meşhur ve dâhi matematikçilerin ulaştıkları yere varabilmek için tıpkı bizler gibi çok çalışmak zorunda kaldıklarını göstermektedir.
Ziyafete hazırlanın. Umarım acıkmışsınızdır.
1
SAYI KAVRAMI
1. Bölüm
SAYI TÜRLERİ
İnsanların yüzde altmış dördü bir süper bilgisayara erişim sağlayabiliyor.
2017 yılında toplam insan nüfusunun 7,5 milyara ulaşmasıyla birlikte cep telefonu olan insanların sayısının da tahminen 4,8 milyara ulaştığı hesaplanmıştır. Japon asıllı Amerikalı fizikçi Michio Kaku’nun (doğumu 1947) belirttiği üzere “Bugün elinizdeki cep telefonlarının programlama gücü 1969 yılında Ay’a iki astronot indiren NASA’ dan çok daha fazladır. ”
İhtiyaç duyduğumuz herhangi bir aritmetik işlemi parmağımızı ekranda hafifçe gezdirerek cep telefonlarımız üzerinden yapabiliriz. O halde neden aritmetik öğrenmeyi dert edinelim ki?
Çünkü herhangi bir aritmetik işlemi yapabilirseniz sayıların nasıl işlediğini anlamaya başlarsınız. Matematiğin, sayıların nasıl işlediğini inceleyen dalına aritmetik denirdi ancak günümüzde bu sözcüğün hesaplama yapmak anlamında kullanıldığını görüyoruz. Sayıların doğasını inceleyen matematikçilere ise sayı kuramcıları ismi veriliyor ve onlar da evrenimizin matematiksel temelleriyle sonsuzluğun doğasını anlamaya çalışıyorlar.
Çok büyük iş.
Başlarken sizi bir hayvanat bahçesi gezisine götürmek istiyorum.
İnsanlar nesneleri saymaya ilk önce tek bir şeyle başlayıp sonrasında tüm sayıları (ya da tam sayılar) üst üste eklediler. Bu sayılara doğal sayılar denir. Şayet bu sayıları sonsuz sayıda parmaklığı olan bir matematik hayvanat bahçesine koyacak olsaydım her bir sayı için bir parmaklığa ihtiyaç duyardık:
1, 2, 3, 4, 5, 6…
Antik Yunanlar sıfır elmadan oluşan bir kümeye sahip olamayacağımız için sıfırın doğal olmadığını düşündüler ancak biz negatif tam sayılar, yani eksi sayılarla pozitif olanlar arasındaki boşluğu doldurduğu için sıfırın doğal sayılar arasına girmesine izin veriyoruz. Şayet sıfır ile negatif tam sayıları da hayvanat bahçeme dahil edersem, şu şekilde görünecektir:
…-6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Artık hayvanat bahçem tüm negatif tam sayıları da içermektedir ve bu da doğal sayılarla birleştiğinde tam sayı olarak isimlendirilen, hayali bir sayı grubunu oluşturmaktadır. Her bir pozitif tam sayıya karşılık negatif bir tam sayı bulunduğundan hayvanat bahçemin öncekine göre iki kat fazla parmaklığa bir de sıfır için ekstra yere ihtiyacı olacaktır. Bununla birlikte sonsuz matematiksel hayvanat bahçemin daha fazla büyümesine gerek yoktur çünkü zaten sonsuz büyüklüktedir. Bu durum daha önce bahsettiğim çok büyük iş için basit bir örnektir.
Tam sayı olmayan diğer sayı türleri de vardır. Elma kümeleri Yunanlara yetiyordu ancak biz bir elmanın bölünüp belirli bir sayıdaki insan grubu arasında paylaşılabileceğini biliyoruz. Bu gruptaki her bir birey elmanın bir bölümünü alacaktır; ben de hayvanat bahçeme her bir bölümden (kesir) örnek almak istiyorum.
Şayet sıfır ile bir arasındaki bütün kesirleri listelemek istersem yarımlar, üçte birler, sonra çeyrekler vs. ile başlamak mantıklı olacaktır. Bu sistemli yaklaşım hiçbirini kaçırmadan bütün kesirleri elde etmemi sağlayacaktır. Bu sebeple bütün doğal sayıları payda olarak (kesir çizgisinin altındaki sayılar) kullanmak zorunda kalacağımı kabul edebilirsiniz. Her bir farklı payda için de sıfırdan başlayıp paydanın değerine ulaşana dek artacak olan sayıda farklı paya (kesir çizgisinin üstündeki sayı) ihtiyaç duyacağım.
Kesirler, tam sayıların arasındaki sayıları belirtir; bir kesir çizgisinin üstünde bir sayı (pay) ve altında bir sayı (payda) olacak biçimde yazılırlar. Örneğin “yarım” ifadesi şu şekilde gösterilir:
Burada “1” pay, “2” ise paydadır. Bu biçimde yazılmasının nedeni, değerinin birin ikiye bölünmesi ile elde edilen değere eşit olmasıdır. Bir şeyi iki kişi arasında paylaştırırsanız size o şeyden elde edeceğiniz kesri göstermektedir.
Sıfır ile bir arasındaki tüm kesirleri hallettikten sonra tüm doğal sayılar arasındaki tüm kesirleri yazmak için bunu kullanabilirim. Şayet sıfır ile bir arasındaki tüm kesirlere bir eklersem bu bana bir ile iki arasındaki tüm kesirleri verecektir. Şayet onlara da bir eklersem bu sefer iki ile üç arasındaki tüm kesirlere ulaşırım. Bunu tüm doğal sayılar arasındaki kesirleri tamamlamak için yapabilirim ve negatif tam sayılar arasındaki kesirlerin tümünü tamamlamak için de birer tane çıkarabilirim.
Böylece