{2}} \begin {pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end {pmatrix} \begin {pmatrix}
\psi_0 \\
\psi_1
\end {pmatrix} = \frac {1} {\sqrt {2}} \begin {pmatrix}
\psi_0 + \psi_1 \\
\psi_0 – \psi_1
\end {pmatrix} $
После применения оператора Адамара к состоянию $|\psi\rangle$, мы получаем новое состояние $H|\psi\rangle$, которое является линейной комбинацией состояний «0» и «1» входного кубита.
Важно отметить, что оператор Адамара является обратимым, то есть можно применить обратный оператор для возвращения к исходному состоянию кубита.
Разъяснение того, как оператор Адамара накладывает состояния «0» и «1» друг на друга и создает суперпозицию
Рассмотрим, как оператор Адамара накладывает состояния «0» и «1» друг на друга и создает состояние суперпозиции.
4.1 Применение оператора Адамара к состояниям «0» и «1»:
Оператор Адамара действует на состояние «0» и состояние «1» следующим образом:
$H|0\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $
$H|1\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle – |1\rangle) $
Применение оператора Адамара приводит к тому, что состояние «0» становится линейной комбинацией состояний «0» и «1», а состояние «1» – линейной комбинацией состояний «0» и "-1». Это создает суперпозицию двух состояний.
4.2 Применение оператора Адамара к суперпозиции:
Теперь рассмотрим суперпозицию состояний «0» и «1»:
$|\psi\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $
Если мы применим оператор Адамара к этой суперпозиции, получим:
$H|\psi\rangle = H\left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) \right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (H|0\rangle + H|1\rangle\right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle – |1\rangle) \right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |0\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|1\rangle – |1\rangle) \right) $
$ = |0\rangle$
Как видно из вычислений, после применения оператора Адамара к суперпозиции, мы получаем состояние «0». Это происходит потому, что оператор Адамара обратим и обеспечивает восстановление изначального состояния.
Оператор Адамара позволяет накладывать состояния «0» и «1» друг на друга и создавать суперпозицию, что открывает возможности для различных операций с кубитами в квантовых вычислениях.
Уточнение того, что оператор Адамара также является собственным вектором оператора фазы
Рассмотрим связь между операторами Адамара и фазы и объясним, почему оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы.
5.1 Определение оператора фазы ($S$):
Оператор фазы, обозначаемый как $S$, является оператором, который вводит фазовые изменения в состояния кубитов. Определяется он следующим образом:
$S = \begin {pmatrix}
1 & 0 \\
0 & i
\end {pmatrix} $
5.2 Свойство оператора Адамара и оператора фазы:
Оказывается, что оператор Адамара и оператор фазы связаны друг с другом. Более конкретно, оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы. Это означает, что вектор состояния после применения оператора Адамара будет собственным вектором оператора фазы.
Математически, это можно представить следующим образом:
$S (H|\psi\rangle) = \lambda (H|\psi\rangle) $
Где $|\psi\rangle$ – вектор состояния кубита после применения