nav redzams kadrā, rada problēmu: piemēram, reiziniet 96 ar 97. Tiklīdz tiek pateikts 96, es to uzreiz atņemu no 100 un saņemu 4. Kad tiek pateikts otrais skaitlis – 97 – es atņemu 4 no to un saņem 93. Es nesaku 93, bet saku «deviņi tūkstoši trīs simti…» ar savu smuku austrāliešu akcentu un tajā pašā laikā galvā izrēķinu: «4 reiz 3 ir 12.»
Tā gandrīz bez pauzes beidzu: «Deviņi tūkstoši trīs simti. divpadsmit». Lai gan es neuzskatu sevi par «cilvēku kalkulatoru» – jo daudzi mani skolēni ir ātrāki par mani – , man joprojām nav problēmu iegūt atbildi, pirms kāds cits to paspēj dabūt kalkulatorā.
Tagad vēlreiz atrisiniet pēdējo piemēru sēriju, bet tagad veiciet visus aprēķinus savā galvā. Drīz jūs redzēsit, ka tas ir vieglāk, nekā šķiet. Es vienmēr saviem studentiem saku: jums ir trīs vai četras reizes jāatrisina piemērs galvā, pirms tas kļūst patiešām viegli; pēc tam katru nākamo reizi veiktais aprēķins būs sīkums, salīdzinot ar pirmajā reizē veikto aprēķinu. Tāpēc izmēģiniet to piecas reizes, pirms padodaties un sakāt, ka tas jums ir pārāk grūti.
Vai jūs nepārsteidz tas, ko varat darīt tagad? Jūsu smadzenes nekļūst labākas vienas nakts laikā: jūs vienkārši izmantojat tās efektīvāk, pateicoties vienkāršiem, bet sarežģītākiem matemātikas aprēķiniem.
2. nodaļa Atsauces numurs
Mēs vēl neesam pilnībā izdomājuši skaitļu reizināšanas metodi. Līdz šim apskatītajām problēmām metode darbojās nevainojami. Tagad, pēc dažām izmaiņām, mēs varam to piemērot jebkuriem skaitļiem.
Numurs 10 kā atsauce
Atgriezīsimies pie 7 x 8 piemēra.
Cipars 10 pa kreisi no piemēra ir atsauces numurs. Šis ir skaitlis, no kura mēs atņemam faktorus.
Tātad, rakstīsim atsauces numuru pa kreisi no piemēra. Tagad pajautāsim sev, vai skaitļi, kurus mēs reizinām, ir lielāki (lielāki) vai mazāki (mazāki) par atsauces skaitli? Šajā gadījumā reizinātājs abas reizes ir mazāks (mazāks) par atsauces skaitli. Tāpēc mēs zīmējam apļus zem faktoriem. Cik daudz faktoru ir mazāki par atsauces skaitli? Attiecīgi par 3 un 2. Apļos ierakstiet 3 un 2. 7 ir vienāds ar 10 mīnus 3, tāpēc apļa priekšā ar skaitli 3 ievietojam mīnusa zīmi. 8 ir 10 mīnus 2, kas nozīmē, ka apļa ar skaitli 2 priekšā ievietojam mīnusa zīmi.
Tagad atņemsim šķērsām. 7 mīnus 2 un 8 mīnus 3 dod 5. Mēs rakstām 5 aiz vienādības zīmes. Tagad sareizināsim 5 ar atsauces skaitli 10. 5, reizinot ar 10, iegūst 50, tāpēc aiz 5 rakstām 0. (Jebkuru skaitli reizinot ar 10, pietiek ar skaitli labajā pusē pievienot nulli.) 50 ir mūsu starprezultāts.
Tagad reizināsim skaitļus apļos. 3 reizes 2 dod 6. Pievienojiet rezultātu 50 un iegūstiet galīgo atbildi: 56.
Pilnībā atrisināts piemērs izskatās šādi:
Numurs 100 kā atsauce
Kāds bija atsauces numurs 96 x 97 piemēram 1. nodaļā? 100, jo mēs arī aprēķinājām, cik daudz 96 un 97 pietrūka, lai iegūtu 100. Pilnībā atrisinātais piemērs tagad izskatītos šādi:
Manis iepriekš sniegtais garīgās skaitīšanas triks vienkārši liek jums izmantot šo metodi. Sareizināsim 98 ar 98, un jūs redzēsiet, ko es domāju.
Mēs atņemam 98 un 98 no 100 un iegūstam 2 un 2. Atņemam 2 no 98 un iegūstam 96. Bet mēs nesakām «deviņdesmit seši», bet «deviņi tūkstoši seši simti». 9600 iegūst, reizinot 96 ar palīgskaitli 100. Tagad skaitļus reizinām apļos. 2 reizes 2 ir vienāds ar 4, tāpēc galīgā atbilde ir 9604.
Atrisiniet šādus piemērus savā galvā:
a) 96 x 96 = ___; b) 97 x 97 = ___; c) 99 x 99 = ___; d) 95 x 95 = ___; e) 97 x 98 = ___
Jums vajadzētu saņemt šādas atbildes:
a) 9216; b) 9409; c) 9801; d) 9025; e) 9506
Iespējams, jau tagad varēsit ātri atrast atbildes uz šādiem piemēriem. Noteikti esat pilnībā apguvis šo metodi attiecībā uz skaitļiem, kas mazāki par 10, apskaužamā ātrumā risinot atbilstošos piemērus. Piemēram, ja vēlaties aprēķināt, cik daudz ir 9 x 9, jūs uzreiz «redzēsit» vienu zem katriem deviņiem. 9 mīnus 1 dod 8 – un jūs uzreiz saņemat 80 (reizinājums no 8 ar 10). 1 pret 1 dod 1. Tātad jūsu atbilde ir 81.
Skaitļu reizināšana no 10 līdz 20
Apskatīsim, kā darbojas metode skaitļu reizināšanai no 10 līdz 20. Ņemsim 13 x 14 kā piemēru, izmantojot 10 kā atsauces skaitli.
Gan 13, gan 14 ir lielāki (virs) atsauces skaitļa 10, tāpēc mēs zīmējam apļus virs faktoriem. Cik tie ir vairāk nekā atsauces numurs? Attiecīgi 3 un 4. Tāpēc mēs rakstām 3 un 4 apļos virs 13 un 14. 13 ir vienāds ar 10 plus 3, tāpēc skaitļa 3 priekšā ievietojam plus zīmi; 14 ir vienāds ar 10 plus 4, tāpēc skaitļa 4 priekšā ievietojam plus zīmi.
Tāpat kā iepriekš, salieciet to šķērsām. Gan 13 plus 4, gan 14 plus 3 ir vienādi ar 17. Aiz vienādības zīmes rakstām 17. Mēs reizinām 17 ar atsauces skaitli 10 un iegūstam 170 – tas ir mūsu starprezultāts, mēs to rakstām pēc vienādības zīmes.
Kā pēdējo soli mēs reizinām skaitļus apļos. 3 reizes 4 ir vienāds ar 12. Pievienojiet 12 līdz 170 un iegūstiet atbildi: 182. Šādi izskatās pilnībā atrisināts piemērs:
Ja skaitlis, kuru mēs reizinām, ir lielāks (lielāks) par atsauces skaitli, mēs novietojam apli virs skaitļa. Ja skaitlis ir mazāks (zem) no atsauces, zem skaitļa novelkam apli.
Ja skaitļi apļos ir lielāki par koeficientiem, mēs saskaitām šķērsām, ja tie ir mazāki, tad atņemam šķērsām.
Tagad mēģiniet pats atrisināt šādus piemērus:
a) 12 x 15 = ___; b) 13 x 15 = ___; c) 12 x 12 = ___; d) 13 x 13 = ___; e) 12 x 14 = ___; f) 12 x 16 = ___; g) 14 x 14 = ___; h) 15 x 15 = ___; i) 12 x 18 = ___; j) 16 x 14 = ___
Atbildes:
a) 180; b) 195; c) 144; d) 169; e) 168; f) 192; g) 196; h) 225; i) 216; j) 224
Ja kaut kur pieļāvāt kļūdu, vēlreiz izlasiet sadaļu un uzziniet, ko izdarījāt nepareizi, pēc tam mēģiniet vēlreiz atrisināt piemērus.
Kā jūs reizinātu 12 un 21? Apskatīsim šo piemēru.
Kā atsauces skaitli ņemam 10. Abi faktori ir lielāki par 10, tāpēc virs tiem zīmējam apļus. 12 ir lielāks par 10 reizi 2 un 21 reizi 11, tāpēc mēs ievadām 2 un 11 atbilstošajos apļos. 21 plus 2 ir vienāds ar 23, kas, reizinot ar 10, ir 230. 2 reiz 11 ir 22, kas, pieskaitot 230, ir 252.
Pilnībā atrisinātais piemērs izskatās šādi:
Skaitļu, kas ir lielāki par 100, reizināšana
Vai šo metodi var izmantot, lai reizinātu skaitļus, kas lielāki par 100? Protams.
Lai