от произвольного множества компактное множество обладает некоторыми свойствами упорядоченности. Строгое определение понятия компактного множества формулируется так: это такое множество, в котором из каждой последовательности элементов этого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, множество функций, зависящих от конечного числа параметров, является компактным (а если компактному множеству принадлежат и границы этого множества, то это компакт).
Именно этим и объясняются большие успехи в решении обратных параметрических задач. Например, в случае звезд с тонкими атмосферами из физической теории тонких атмосфер получается аналитическое выражение для распределения яркости по диску звезды, зависящее от трех параметров: яркости в центре, радиуса звезды и так называемого коэффициента потемнения к краю x. Когда x = 0, диск звезды однородный, когда x = 1, яркость диска на краю равна нулю (полное потемнение к краю). Как я уже писал ранее, с использованием такого параметрического представления обратная задача интерпретации кривой блеска затменной системы сводится к нелинейной системе алгебраических уравнений, зависящей от небольшого числа искомых параметров. Эту систему можно решать любым методом, и получаемый набор искомых параметров будет устойчив по отношению к ошибкам наблюдений.
В случае затменных систем звезд с протяженными атмосферами, как уже отмечалось, не существует универсального параметрического представления для функции распределения яркости по диску звезды. Поэтому необходимо решать интегральное уравнение Фредгольма 1‑го рода для нахождения этой функции. Вначале мы с А. В. Гончарским и А. Г. Яголой решали это уравнение методом регуляризации Тихонова, который не требует выделения компакта и позволяет получить устойчивое приближение к точному решению при минимальной априорной информации о гладкости искомого решения (в этом состоит изумительная красота идеи тихоновского регуляризирующего алгоритма). В дальнейшем мы старались учесть специфику нашей обратной задачи и выделить компакт. После многомесячных изысканий я предложил использовать в качестве априорной информации в нашей модели информацию о монотонности и неотрицательности искомой функции распределения яркости по диску звезды с протяженной атмосферой.
Эта информация вытекает из общих соображений о структуре протяженной звездной атмосферы и не затрагивает деталей физической модели атмосферы. Поэтому она является универсальной для затменных систем. Какова же была моя радость, когда спустя пару недель мои коллеги и друзья, Саша Гончарский и Толя Ягола, объявили, что им удалось доказать теорему о том, что множество монотонных и неотрицательных функций является компактным! Высокий уровень математической подготовки моих друзей позволил им без труда написать алгоритм и программу для компьютера, реализующую решение нашей обратной задачи на компактном множестве монотонных (невозрастающих)