и в случае с операцией объединения, также имеется три случая.
Если А ={1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7, 8}, A ∩ B ={2, 3}, рис. 1.4(a).
Если A ={1, 2, 3, 4}, B ={6, 7, 8, 9 }, A ∩ B = Ø, т. е.множества А и В не пересекаются, рис. 1.4(b).
Если А ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B ={4, 5, 6}, A ∩ B = B = {4, 5, 6}, рис. 1.4(с).
Рис. 1.4
Теорема 1.1. Следующие соотношения эквивалентны:
A ⊂ B, A ∩ B = A, и A ∪ B = B.
Следует заметить, что вопрос о том, является ли А собственным или несобственным подмножеством В, в общем, не существен, и поэтому можно записать теорему следующим образом:
A ⊆ B, A ∩ B =A, и A ∪ B = B.
Операция дополнения множеств
Если все множества рассматриваются в некоторое определенное время и являются подмножествами фиксированного универсального множества U, тогда можно определить универсальное дополнение, или просто дополнение множества А, обозначается Ас, как множество элементов, которые принадлежат U, но не принадлежат А, т. е.
Aс ={x: x ∈ U, x ∉ A}.
В некоторых текстах дополнение A обозначается как A’ или Ᾱ. На рис. 1.5(а) дополнение Ас показано заштрихованной областью.
Операция разности множеств
Если подобным же образом рассматривать дополнение множества В до другого множества А, то можно получить операцию разности множествА и В, обозначаемую как А\В, которая задает множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, т. е.
А\В = { x: x ∈ A, x ∉ B}.
Иногда множество А\В читается как «А минус В» и обозначается А – В. На рис. 1.5(b) разность А\В заштрихована.
Рис. 1.5
Нетрудно заметить, что для любых двух множеств А и В выполняется тождество А\В =А ∩ Вс.
Пример 1.5
Пусть универсальное множество U = N = {1, 2, 3, 4,…} является множеством натуральных чисел и пусть
А = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {7, 8, 9},
и пусть D = {1, 3, 5, 7, 9,…}, множество нечетных чисел. Тогда дополнения
Ас = {6, 7, 8, 9,…}, Bc = {1, 2, 3, 9, 10, 11,…}, Cc = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11,…},
и разности множеств
А\В = {1, 2, 3}, А\C = {1, 2, 3, 4, 5}, B\C = {4, 5, 6}, C\B = {9},
B\A = {6, 7, 8}, A\D = {2, 4}, Dc = {2, 4, 6, 8, 10,…}, множество четных чисел.
Симметрическая разность множеств
Симметрической разностью множеств А и В (обозначается A
B) называется множество, которое состоит из элементов либо А, либо B, но не входящих в оба эти множества одновременно. Иначе говоря, это объединение этих множеств, из которого удалено их пересечение:
A
B = (A ∪ B)\(A ∩ B).
Можно также показать, что
A
B = (А\В) ∪ (В\А).
Например, пусть А = (1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}. Тогда
А\В = {1, 2, 3}, B\A = {7, 8} и тогда A
B = {1, 2, 3, 7, 8}.
На рис. 1.6 на диаграмме Венна множество A
B заштриховано.
A
B заштриховано
Рис. 1.6
1.6. Фундаментальное произведение множеств
Операции