= r1(S1) × r2(S2):
Получается по определению: схема S3 не совпадает ни со схемой S1, ни со схемой S2, мы «склеили» две исходные схемы по пересекающимся кортежам, чтобы получить их естественное соединение.
Покажем схематично, как происходит соединение кортежей при применении операции естественного соединения.
Пусть отношение r1 имеет условный вид:
А отношение r2 – вид:
Тогда их естественное соединение будет выглядеть следующим образом:
Видим, что «склеивание» отношений-операндов происходит по той самой схеме, что мы приводили ранее, рассматривая пример.
Операция декартового соединения является частным случаем операции естественного соединения. Если конкретнее, то, рассматривая действие операции декартового произведения на отношения, мы заведомо оговариваем, что в этом случае может идти речь только о непересекающихся схемах отношений. В результате применения обеих операций получаются отношения со схемами, равными объединению схем отношений-операндов, только в декартово произведение двух отношений попадают всевозможные пары их кортежей, так как схемы операндов ни в коем случае не должны пересекаться.
Таким образом, исходя из всего вышесказанного запишем математическую формулу для операции декартового произведения:
r4(S4) = r1(S1) × r2(S2) = {t(S1 ∪ S2) | t [S1] ∈ r1 & t(S2) ∈ r2}, S1 ∩ S2= ∅;
Теперь рассмотрим пример, чтобы показать, какой вид будет иметь результирующая схема отношения, при применении операции декартового произведения.
Пусть даны два отношения r1(S1) и r2(S2), которые в табличном виде представляются следующим образом:
r1(S1):
r2(S2):
Итак, мы видим, что ни один из кортежей отношений r1(S1) и r2(S2), действительно, не совпадает в их пересечении. Поэтому в результирующее отношение r4(S4) попадут всевозможные пары кортежей первого и второго отношений-операндов. Получится:
r4(S4) = r1(S1) × r2(S2):
Получилась новая схема отношения r4(S4) не «склеиванием» кортежей как в предыдущем случае, а перебором всех возможных различных пар несовпадающих в пересечении исходных схем кортежей.
Снова, как и в случае естественного соединения, приведем схематичный пример работы операции декартового произведения.
Пусть r1 задано следующим условным образом:
А отношение r2 задано:
Тогда их декартовое произведение схематично можно изобразить следующим образом:
Именно таким образом и получается результирующее отношение при применении операции декартового произведения.
3. Свойства бинарных операций
Из приведенных выше определений бинарных операций объединения, пересечения, разности, декартового произведения и естественного соединения следуют свойства.
1. Первое