Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews
университета Т. Андерсон: «Модель авторегрессии обладает рядом преимуществ по сравнению с моделью скользящего среднего и процессом авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего, хотя последние в определенных случаях могут хорошо описывать образование наблюдаемых временных рядов. Оценки коэффициентов процесса авторегрессии легко вычисляются. Статистические процедуры для такого процесса, основывающиеся на теории больших выборок, легко выполнимы, поскольку они соответствуют обычной технике наименьших квадратов. Во многих случаях коэффициенты процесса авторегрессии допускают непосредственную интерпретацию, а линейные функции от запаздывающих переменных могут быть использованы для прогнозирования (см. Т. Андерсон. Статистический анализ временных рядов. Пер. под ред. Ю.К. Беляева. Издательство «Мир», М., 1976 стр. 276).
Следует заметить, что в зависимости от того, сколько предыдущих значений временного ряда будет включено в уравнение авторегрессии в качестве лаговых (факторных) переменных, принято различать авторегрессионный процесс разного порядка. Так, в формуле 3.1. представлен авторегрессионный процесс первого порядка, который в англоязычной литературе обычно называется словосочетанием Auto Regressive и кратко обозначается как AR(1).
В том случае, когда в авторегрессию первого порядка добавляются лаговые переменные Yt-2 и Yt-3, то его принято обозначать как AR(3), то есть как авторегрессионный процесс третьего порядка. При этом уравнение для AR(3) примет вид (3.2):
где Y t-1, Y t-2 и Y t-3– независимые (факторные) переменные с лагом в один, два и три месяц; b1,b2 и b3 – соответствующие коэффициенты регрессии при лаговых переменных.
3.2. Специфика уравнений авторегрессии со скользящим средним (ARMA)
Помимо авторегрессионных моделей, нам необходимо также познакомиться и с моделями со скользящим средним в остатках, которые в англоязычной литературе обычно называется словосочетанием Moving Average. Полезность моделей со скользящим средним в остатках обусловлена тем, что для стационарного ряда предсказываемую переменную Yt можно представить в виде линейной функции прошлых ошибок (отклонений прогнозов от их фактических значений). Следует иметь в виду, что термин «скользящая средняя» в данном случае не является синонимом скользящей средней, применяемой, например, для сезонного сглаживания уровней динамического ряда. При этом модель со скользящими средними в остатках первого порядка кратко обозначается как МА(1), а ее формула имеет следующий вид:
Объединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели со скользящим средним в остатках МА приводит к созданию более экономичной модели с точки зрения количества используемых параметров. Эту объединенную модель в англоязычной литературе кратко называют ARMA. Данная аббревиатура произошла от словосочетания ‑ Auto Regressive ‑ Moving Average, что в переводе означает авторегрессионный процесс со скользящими средними в остатках.
Порядок в этой модели в буквенной форме