τρίγωνον έχον την ελάσσονα κάθετον ίσην με το ήμισυ της υποτεινούσης. Εις το τρίγωνον τούτο το τετράγωνον της μείζονος καθέτου είναι το τριπλάσιον του τετραγώνου της ελάσσονος (τριπλασία δύναμις). Έστω το ανωτέρω τρίγωνον ΑΔΒ. Εάν ΑΒ είναι διπλασία της ΒΔ, τότε (ΑΒ)2 θα είναι τετραπλάσιον του (ΒΔ)2. Αλλά κατά το Πυθαγορικόν θεώρημα (ΑΔ)2=(ΑΒ)2– (ΒΔ)2. Άρα το (ΑΔ)2 είναι τριπλάσιον του (ΒΔ)2.
8
Το ύδωρ, ο αήρ και το πυρ, αποτελούμενα στοιχειωδώς εκ των αυτών σκαληνών τριγώνων, δύνανται να μεταβάλλωνται εναλλάξ, ούτως ώστε το αποτελούμενον εκ μεγαλυτέρων στοιχείων, π.χ. το ύδωρ, δύναται να διαλύηται εις εκείνα των μικροτέρων στοιχείων, λοιπόν το ύδωρ εις αέρα, έως ου διαλυθή εις τα στοιχειώδη τρίγωνα, τα οποία έπειτα δύνανται να συνδεθώσι πάλιν εις νέαν ενότητα, και, όταν αύτη αποτελέση έν σύνολον, τότε υπάρχει το νέον είδος· δηλαδή τα τρίγωνα, τα οποία πρότερον απετέλουν το ύδωρ, θα δύνανται τώρα ν' αποτελέσωσι το πυρ, τα δε του πυρός το ύδωρ κ.τ.λ.
9
Αύτη είναι άλλη ιδιότης του ειρημένου ορθογωνίου σκαληνού τριγώνου. Έστωσαν δύο ορθογώνια σκαληνά τρίγωνα ίσα ΑΒΓ και ΑΖΓ κοινήν έχοντα την υποτείνουσαν ΑΓ διπλασίαν της μικροτέρας καθέτου ΒΓ. Αύτη γίνεται η διαγώνιος του τετραπλεύρου ΑΒΓΖ. Διά τούτο λέγει ο Τίμαιος ότι διά της διαγωνίου (διαμέτρου) συνδέονται τα τρίγωνα μάλλον παρά διά της υποτεινούσης. Διά προεκβολών επαναλαμβάνοντες δις τα δύο ταύτα τρίγωνα έχομεν τα τετράπλευρα ΗΒΓΔ και ΕΔΓΖ, πάντα δε γεννώσι τα ισόπλευρον τρίγωνον ΑΗΕ. Τούτο λοιπόν προκύπτει από έξ τρίγωνα ορθογώνια σκαληνά, των οποίων έκαστον έχει την υποτείνουσαν διπλασίαν της ελάσσονος καθέτου και είναι ίσα προς άλληλα.
10
Πάντα τα κανονικά πολύεδρα διαιρούσιν εις μέρη ίσα και όμοια την σφαίραν, εν η είναι εγγεγραμμένα. Το ελάχιστον κανονικόν πολύεδρον είναι η πυραμίς, ης η βάσις και αι έδραι είναι τρίγωνα ισόπλευρα. Η αμβλυτάτη επίπεδος γωνία είναι εκείνη, ήτις μάλλον προσεγγίζει εις τας δύο ορθάς. Αλλ' η ενταύθα περιγραφομένη στερεά γωνία αποτελεί ακριβώς δύο ορθάς γωνίας. Διότι τα τρίγωνα, εξ ων αποτελείται το τετράεδρον τούτο, έχουσι τας γωνίας ίσας, δι' ό τρεις εκ των γωνιών τούτων οπουδήποτε ληφθείσαι ισούνται προς δύο ορθάς, ου μόνον αι τρεις αι αποτελούσαι έν τρίγωνον, αλλά και αι τρεις αι αποτελούσαι μίαν στερεάν γωνίαν. Σημειωτέον ότι ο Πλάτων προσδιορίζων τα αρχικά σχήματα νοεί όχι την ύλην, αλλά τον χώρον. Εισάγει εις το άπειρον τα πέρας, όπερ είναι ο αριθμός και το μέτρον· τα γεωμετρικά δε σχήματα είναι αριθμός και μέτρον. Αι επιφάνειαι λοιπόν αυτού δεν είναι υλικαί, αλλά όρια μαθηματικά και μέτρα· τα δε γεωμετρικά στερεά, τα οποία αι επιφάνειαι περιγράφουσι, δεν είναι υλικά στερεά, αλλ' αντιστοιχούσι προς τους αριθμούς εκείνους, οίτινες μεσάζουσι μεταξύ ιδεών και πραγμάτων. Ο Πλάτων ζητών τα πρώτα στοιχεία ουχί της ύλης, τα άτομα, αλλά τα των σχημάτων, ευρίσκει πρώτον το ορθογώνιον τρίγωνον, όπερ είναι η απλουστάτη εφαρμογή του πέρατος.
11
Είναι το οκτάεδρον, όπερ έχει οκτώ έδρας τριγωνικάς και έξ γωνίας. Είναι δε το σχήμα του αέρος.