являются уравнениями Эйлера. Другими словами, их решения являются экстремалями: на них этот функционал достигает своих экстремальных (или стационарных) значений. Этот чисто математический результат имеет глубокий философский смысл. В самом деле, живи мы в другой Вселенной с другими законами физики, все равно там были бы свои вариационные принципы, а значит, и своя «высшая целесообразность».
Вариационная формулировка законов сохранения – это одно из главных эмпирических обобщений физики. Однако законы сохранения не исчерпывают всех принципов отбора, которые выделяют реальные движения из множества мыслимых. Вместе с тем оказывается, что и другим законам и ограничениям всегда можно придать оптимизационную формулировку. Особенно просто это сделать, если использовать способы описания, принятые в теории исследования операций12. Пусть, например, движение материальной субстанции ограничено кинематическим условием непроницаемости преграды:
(vn) г = 0,
где vn – скорость частиц субстанции, перпендикулярная Г – некоторой поверхности, ограничивающей область пространства, допустимую для движения. Это условие можно переписать в следующем виде:
w(x) =» min,
где w(x) есть некоторый функционал, зависящий от фазовых переменных х. Его можно задать, например, в такой форме:
Переформулировка ограничения в вариационной форме, т. е. в форме требования экстремума для некоторого функционала, может быть произведена бесчисленным количеством способов.
К числу принципов отбора, допускающих оптимизационную постановку, относятся также принципы Онсагера и Пригожина.
Таким образом, движение неживой материи мы всегда можем описать в терминах многокритериальной задачи оптимизации:
где w1 – это функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение законов сохранения, w2 – функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение кинематических условий, и т. д.
Из математического анализа известно, что одновременная минимизация нескольких функций (или функционалов) имеет смысл лишь при выполнении некоторых специальных условий. Обозначим через Ω1 множество экстремальных значений функционала w1. Тогда задача w2 => min будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальное значение функционала w2 на множестве Ω1 и т. д. Таким образом, множество функционалов должно быть упорядоченным, а пересечение множеств Ωi, минимальных значений функционалов wi – непустым. Тогда требование (+) определит некоторое множество допустимых состояний w. Это множество и является ареной развивающихся событий.
При описании явлений неживой природы функционалы wi действительно всегда ранжированы, причем первое место принадлежит законам сохранения. Различные связи – голономные, неголономные – и любые другие