в ее справедливости. Пифагор и его последователи были настолько сильно оскорблены этим, что исключили Гиппаса из школы. В некоторых источниках даже говорится о том, что ученого сбросили с обрыва в море его ученики!
Математикам эти истории могут показаться ужасающими. Можно ли когда-либо чувствовать себя полностью уверенным? Каково это, жить в постоянном страхе того, что в один прекрасный день математическое открытие оборвет вашу жизнь? И треугольник со сторонами 3–4–5 – в самом ли деле он прямоугольный? Нет ли вероятности, что в один из дней выяснится, что, казавшийся абсолютно прямым, он все же не идеален?
Даже сегодня нередки случаи, когда математики становятся жертвами ошибочных догадок. Именно поэтому, продолжая традиции своих древнегреческих предков, современные математики четко разграничивают суждения, которые могут быть однозначно доказаны, так называемые теоремы, и те из них, которые еще не доказаны, получившие название «гипотезы».
Одной из самых известных гипотез нашего времени является гипотеза Римана. Многие математики опираются на ее справедливость и основывают на ней свои исследования. Если когда-нибудь эта теорема будет доказана, их работа также окажется подтвержденной. Но если ее опровергнут, то и все их труды будут напрасны. Ученые XXI в. намного более благоразумны, чем их предшественники из Древней Греции, тем не менее можно предположить: если кому-то удастся опровергнуть гипотезу Римана, даже в текущих условиях на этого человека вполне предсказуемо обрушится гнев некоторых коллег.
Чтобы избежать этого постоянного страха ожидания опровержения, математикам требуется приводить доказательства. Нет, мы никогда не узнаем о том, что треугольник со сторонами 3–4–5 не является прямоугольным. Это точно. И эта уверенность проистекает из теоремы Пифагора, которая подтверждает это. Любой треугольник, сумма квадратов катетов которого равна квадрату гипотенузы, является прямоугольным. Это суждение было для математиков Месопотамии гипотезой, но благодаря древним грекам оно стало теоремой. Уф!
Так в чем же заключается доказательство? Теорема Пифагора – не только одна из самых известных теорем, она также имеет множество различных доказательств. Их насчитывается несколько десятков. Некоторые из них сделаны представителями цивилизаций, которые даже не слышали о Евклиде или Пифагоре – например, подтверждение встречается в китайском произведении «Математика в девяти книгах». Иные доказательства сформулированы уже после Пифагора – с той лишь целью, чтобы остаться в истории и поупражняться в рассуждениях. Так, среди тех, кто сформулировал собственные доказательства теоремы Пифагора, – знаменитый итальянский изобретатель Леонардо да Винчи, а также двадцатый президент США Джеймс Абрам Гарфилд.
Один из наиболее распространенных принципов доказывания – принцип мозаики: если две геометрические фигуры могут быть сложены из равных элементов, то их площади равны. Обратимся к примеру такого доказательства, которое привел