Фотонно-стимулированные технологические процессы микро- и нанотехнологии. Игорь Житяев

      Уравнение теплопроводности может быть записано как

      где первый член описывает изменение температуры Т во времени t, второй член описывает пространственное распределение Т, а третий является функцией теплового источника. Параметр К(Т) представляет собой коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры, его размерность Вт/см·К.

      Используя преобразование Кирхгофа

      можно записать уравнение теплопроводности:

      Для расчёта температуры в подложке при сканировании лазерного луча удобно использовать подвижные координаты: x’=x+νt. Однако далее будем использовать для удобства переменную х вместо х’, подразумевая её подвижной. В этом случае уравнение теплопроводности преобразуется к виду

      Считая, что лазерное излучение полностью поглощается в тонком приповерхностном слое, функция источника имеет вид

      Множитель 2 показывает, что рассматривается полубесконечное пространство. Общее решение уравнения (23), полученное методом функции Грина, имеет вид где

      Координаты в этом выражении нормируются на характеристический радиус:

      Зависимость T(θ) находится из преобразования Кирхгофа. Полученное соотношение является нелинейным, поэтому расчёт θ должен быть проведён итерационным методом. Однако при ν = 0 нелинейность исчезает, и температуру можно найти непосредственно прямым методом. При ν = 0 выражение (25) можно представить как произведение максимальной температуры (θ) в центре лазерного пятна на нормализованную функцию, определяющую вид температурного профиля по трём направлениям

      где

      Профили η вдоль осей X, Y и Z, полученные по выражению (31) для подвижного луча, показаны на рис. 4 для β = 1. Расчёты показывают, что для луча диаметром 40 мкм распределение температуры до глубины 1 мкм, внутри которой формируются элементы ИС, практически однородно. Зависимости K(T) и ς(T) для кремния хорошо аппроксимируются выражениями [19]

      Рис. 4. Распределение относительной температуры вдоль нормированных координат при лазерном нагреве: 1 – Х, Y; 2 – Z

      Это позволяет получить аналитическую зависимость

      где Т₀ – температура подложки до лазерного облучения.

      Для неподвижного пятна Т может быть выражено через Р и Т₀ следующим образом:

      На рис. 5 показана зависимость максимальной температуры для неподвижного пятна при β = 1 как функция от Р. При скорости сканирования, отличной от нуля, θ зависит от параметров материала подложки, а также размеров пятна. Расчёт θ требует одновременного определения Т,