Юрий Вениаминович Красков

ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА


Скачать книгу

рациональных числах. Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты – это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.

      Итак, пусть в уравнении a2+b2=c2 дано число c и нужно найти числа a и b. Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители:

      c=pp1p2…pk; тогда

      c2=p2p12p22…pk2=p2(p1p2…pk)2=pi2N2

      Теперь становится очевидно, что число c2 раскладывается на a2+b2 только в том случае, если хотя бы одно из чисел pi2 также раскладывается на сумму двух квадратов50. Так ведь это же замкнутый круг, поскольку нужно опять число в квадрате разложить на сумму двух квадратов. Но ситуация уже совсем иная, т.к. теперь-то нужно раскладывать простое число в квадрате и это обстоятельство становится основой для решения поставленной задачи.

      Если решение возможно, то должны существовать такие простые числа, которые раскладываются на сумму двух квадратов и только в этом случае в соответствии с тождеством пифагорейцев можно получить:

      pi2 = (x2+y2)2 = (x2−y2)2 + (2xy)2

      т.е. квадрат такого простого числа будет также суммой двух квадратов. Отсюда появляется поистине грандиозное научное открытие Ферма51:

      Все простые числа типа 4n+1 единственным образом раскладываются на сумму двух квадратов, т.е. уравнение p=4n+1=x2+y2 имеет единственное решение в целых числах. А все остальные простые числа, относящиеся к типу 4n−1, не могут быть разложены таким же образом.

      В письме-завещании Ферма показано, как это может быть доказано методом спуска. Однако доказательство Ферма не сохранилось и эту задачу решил Эйлер, которому пришлось для этого в течение целых семи лет задействовать всю свою интеллектуальную мощь52. Теперь уже решение задачи Диофанта выглядит очевидным. Если среди простых множителей числа c нет ни одного относящегося к типу 4n+1, то и число c2 не может быть разложено на сумму двух квадратов. А если хотя бы одно такое число pi есть, то через тождество пифагорейцев можно получить:

      c2= N2pi2= (Nx)2+(Ny)2

      где x= u2−v2; y=2uv; a=N(u2−v2); b=N2uv

      Решение получено, однако Ферма оно явно не устраивает, поскольку чтобы вычислить число N, нужно разложить число c на простые множители, а эта задача во все времена считалась едва ли не самой трудной из всех задач в арифметики53. Затем нужно ещё вычислить числа x, y, т.е. решить задачу о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов. Над решением этой задачи Ферма работал почти до конца своей жизни.

      Вполне естественно, что, когда есть желание упростить решение задачи