предметов, все-таки, попросту говоря, далеко не может помериться с наукой, которая каждым высказанным ею словом действительно научает и возвышает, приобретая себе, вместе с тем, никогда не ослабевающее удивление, – и не вследствие громадности измеряемых ею пространств, но вследствие превосходящего всякое описание зрелища громадного человеческого остроумия. Математика – господствующая наука нашего времени. Ее завоевания возрастают ежедневно, хотя и без шума. Кто не имеет ее за себя, тот некогда будет иметь ее против себя.
Теперь я должен определеннее указать, в чем заключается основание того, что математика не только в себе самой носит убеждение, но даже переносит его на предметы, к которым применяется. Говоря вообще, это основание заключается в совершенной точности, с которою определяются элементарные математические понятия, и в этом отношении каждая наука должна запастись своим собственным добром; ни одна не может позаимствовать его или получить в подарок от другой; психология настолько же мало может взять его от математики, как и та – от психологии. Но это – не все. Коль скоро человеческому мышлению приходится иметь дело с длинным следованием умозаключений или вообще с трудными предметами, внутреннее многообразие которых взаимно затемняется, то наступает не только опасность, но и подозрение ошибки, потому что нельзя обозреть всего единичного с одновременной ясностью, и поэтому, в конце концов, приходится довольствоваться только верою в то, что с самого начала не было промаха. Всякий знает, как часто это случается при счете, т. е. при самом элементарном применении математики. Никто не воображает, чтобы это было лучше в высших частях математики. Напротив, чем запутаннее вычисление, тем выше поднимаются (в очень быстрой прогрессии) сомнительность и подозрение скрытой ошибки. Что же делает математика для устранения этого, в высшей степени свойственного ей самой неудобства? Изощряет ли она свои доказательства? Или она дает совершенно новые правила, каким образом следует применять правила предшествующие? Ничуть! Каждое единичное вычисление, рассматриваемое само по себе, остается в состоянии очень большой сомнительности. Но, ведь, есть проверки вычисления! На почве математики есть тысяча разных путей к каждому пункту, и если на всех путях мы находим как раз то же самое, то у нас получается убеждение, что мы нашли верный пункт. Вычисление без контроля – все равно что ничто. Точно так же обстоит дело со всяким одиноко стоящим доказательством в любой умозрительной науке: оно может быть очень остроумным, даже совершенно верным и истинным, и все-таки оно не служит порукой никакого прочного убеждения. Поэтому кто в метафизике или в зависящей от нее психологии захотел бы надеяться, что его величайшая забота о самом тонком определении понятий и последовательном мышлении будет вознаграждена убеждением, и даже таким убеждением, которое может быть сообщено всем, то он был бы сильно обманут. Не только умозаключения должны взаимно подтверждаться (и притом