La bifurcación del tipo silla-nodo
La bifurcación de silla-nodo es un fenómeno bien conocido en sistemas dinámicos de dimensión finita [Guckenheimer y Holmes, 2013]. En esta bifurcación, hay dos ramas de puntos fijos en un lado del punto de bifurcación, y ningún punto fijo en el otro lado (nótese a continuación que es una simple forma cuadrática). La forma normal que rige esta bifurcación puede escribirse como:
Puede verse lo extremadamente sencillo de la expresión anterior (es decir, lo simple de la teoría que explica ciertos fenómenos). No obstante esto último, patrones muy complicados pueden estudiarse con el uso de este modelo (recordar que la forma compacta escrita anteriormente es válida solo en cercanías de la bifurcación). Por ejemplo, ondas solitarias (los llamados solitones) en sistemas físicos altamente no lineales a menudo exhiben este tipo de bifurcación. Los ejemplos incluyen también sistemas modelados vía ecuaciones de Boussinesq, ecuación en ondas de agua [Buffoni et al., 1996; Yang y Akylas, 1997; Chen, 2000], la ecuación de Swift-Hohenberg en la formación de patrones [Burke y Knobloch, 2007], la ecuación de Schrödinger no lineal (NLS), ecuaciones con potenciales localizados o periódicos en óptica no lineal y sistemas condensados de Bose-Einstein [Herring et al., 2005; Kapitula et al. 2006; Sacchetti, 2009; Akylas et al., 2012], y muchos otros.
Bifurcación transcrítica
Es una típica bifurcación que ocurre cuando dos soluciones estacionarias cambian sus propiedades estacionarias para un valor crítico del sistema. La forma normal de esta ecuación es:
Esta última es usada extensivamente para describir –por ejemplo, y en algunos casos de manera extremadamente exitosa– el crecimiento poblacional de una especie determinada [May, 1976], cuyo número representa la variable x. Cuando el valor del número de individuos es suficientemente pequeño, la población crece o muere exponencialmente de acuerdo a si p (la taza de crecimiento, exponencial, del sistema) es mayor o menor que cero. Si la población crece, después de algún tiempo se habrá vuelto tan grande que la escasez de alimentos o la actividad de los depredadores surtirán efecto y la tasa de crecimiento disminuirá. El término no lineal en la ecuación representa justamente esta saturación del crecimiento exponencial de la población.
Los puntos estacionarios de este sistema son, entonces: x = 0, x = p. Es fácil ver que habrá un cambio del comportamiento de estabilidad en estos puntos estacionarios dependiendo del signo de p. Si es menor que cero, el punto estable es x = 0, mientras que x = p es inestable. Cuando p es mayor que cero, las propiedades de estabilidad de estos puntos cambian, es decir, x = 0 es inestable y x = p es estable. El punto de bifurcación en este caso es también p = 0.
Bifurcación de la horca
El caso de la bifurcación de la horca es muy interesante. Puede asociarse a algunas propiedades de simetría del sistema involucrado. Vale la pena recordar que en los sistemas físicos, para cada simetría matemática continua hay una cantidad conservada correspondiente, que es de hecho una propiedad extremadamente importante [Noether, 1918].
La ecuación de evolución para esta bifurcación fue descrita por Landau en 1944, para describir el efecto de las no linealidades en la inestabilidad hidrodinámica, representando la amplitud de una perturbación por x:
Cuando el signo en el término cúbico es negativo, la bifurcación se llama supercrítica. En este caso, para p menor que cero solo hay un equilibrio en x = 0. Mientras que para p mayor que cero hay tres soluciones, una inestable, en x = 0, y dos estables en las raíces cuadradas positiva y negativa de p. El caso subcrítico es cuando el signo del término cúbico, en la ecuación de evolución, es positivo. Hay una inversión de las soluciones estables y sus propiedades de estabilidad. Para el caso subcrítico, p menor que cero, hay tres soluciones estacionarias: x = 0 estable y ambas raíces cuadradas inestables. Para p mayor que cero, la única solución (inestable) es x = 0. Claramente, el punto de bifurcación ocurre en p = 0.
Formación de patrones
En línea con el tema previamente discutido, existe un fenómeno muy importante, formulado matemáticamente por primera vez en el contexto de la morfogénesis. Este también corresponde a un tipo de bifurcación, la cual en su forma más sencilla es conocida como la inestabilidad de Turing (en reconocimiento al matemático inglés Alan Turing).
Los patrones, o estructuras (muchas de ellas con características geométricas bien determinadas), aparecen por todas partes en la naturaleza y han sido uno de los ejemplos importantes citados en la literatura sobre emergencia [Bedau y Humphreys, 2008]. Los patrones espacio-temporales se pueden observar en reacciones químicas o en sistemas vivos tales como cultivos de bacterias [Murray, 2002], fenómenos que involucran escalas planetarias, como por ejemplo la mancha roja de Júpiter.
Es muy importante notar que, como en casi todos los estudios cuantitativos, el tratamiento habitual de la formación de patrones se realiza mediante el modelamiento de las interacciones macroscópicas [Hoyle, 2006; Cross y Greenside, 2009], ya que en general la escala o longitud del patrón observado es mucho mayor en órdenes de magnitud del tamaño de la interacción microscópica que lo genera (volveré a este punto más adelante, explicando los modelos basados en agentes). Después de discutir la formulación matemática típica del mecanismo de Turing, daremos un ejemplo importante de la aplicación de este modelo en las ciencias sociales.
Morfogénesis y la síntesis de Alan Turing
Algunas de las primeras ideas y descripciones matemáticas sobre cómo los procesos físicos y las limitaciones que afectan el crecimiento biológico –y, por lo tanto, los patrones naturales como las espirales de la filotaxis– fueron descritas por D’Arcy Wentworth Thompson en su bello libro de 1917 On Growth and Form. Allí, Thompson explicó que, bajo su punto de vista, las formas del cuerpo de un animal se crean mediante diferentes velocidades de crecimiento en diversas direcciones. Por ejemplo, al generarse la concha espiral de un caracol. Estos mecanismos eran bastante complicados ya que requerían una mecánica interna muy bien estipulada, y complicada, para producir los diferentes diseños que aparecen por doquier en la naturaleza.
Mucho más tarde, ya entrado el siglo XX, más específicamente en 1952, Alan Turing predijo correctamente un mecanismo de morfogénesis [Turing, 1952], utilizando solamente la difusión de dos señales químicas diferentes: una que activa y otra que desactiva el crecimiento. Este tipo de mecanismos establecen de forma correcta patrones de desarrollo, y solo fueron experimentalmente comprobados décadas después del trabajo teórico de Turing [Castets et al., 1990]. La comprensión más completa de los mecanismos involucrados en los organismos reales requirió el descubrimiento de la estructura del ADN y el desarrollo de la biología molecular y la bioquímica. El modelo de Turing es considerado como una metáfora válida de la morfogénesis biológica, útil para un marco conceptual y para guiar el modelado, pero no para la predicción. Sin embargo, en trabajos muy recientes, se demuestra que el modelo de Turing explica cuantitativamente la morfogénesis en la cual los compartimentos celulares primero se diferencian químicamente y luego físicamente [Sheth et al. 2012; Tompkins et al., 2014].
Es importante para el desarrollo de este trabajo hacer hincapié en lo simple del mecanismo propuesto por Alan Turing. Lo describiremos de manera sucinta a continuación.
La palabra difusión proviene del latín diffudere, que significa extenderse. Hasta la obra de Turing en 1952, la difusión solía considerarse como un mecanismo que homogeneizaba el sistema en el que actuaba. Creemos que otro aporte importante del trabajo de Turing fue demostrar cómo un mecanismo de difusión puede concentrar elementos de un sistema en una región particular