Jugando a ser Dios. Manuel López Michelone

→ 1

      101 → 0

      110 → 1

      111 → 0

      Reglas locales de un autómata en una dimensión

      Por ejemplo, consideremos una línea que contenga dos células en medio de la misma, es decir:

      000…001100…000

      La evolución de la siguiente generación pide revisar cada célula en la línea. Cuando tenemos 000…000… no hay cambio alguno, pero llega un momento en que tenemos 001 (recuérdese, sólo hay dos células en la línea del autómata). Hallamos que tenemos que calcular el resultado cuando encontramos 001. Eso, de acuerdo con la tabla, da como resultado un 1. Se pone en la siguiente línea, debajo de la célula que estamos analizando. Ahora movemos nuestro apuntador a la siguiente célula y hallamos la configuración 011, la cual da como resultado un 1. Pasamos a la siguiente célula y encontramos la configuración 110, lo cual vuelve a darnos un 1. Seguimos con este procedimiento y hallamos los valores 100, lo cual de nuevo da un 1. Inmediatamente después todos los valores dan 0. El autómata quedará entonces así en la segunda generación (la primera generación es la inicial):

       000…001100…000 [Generación inicial]

       000…011110…000 [Segunda generación]

      Este sencillo procedimiento se puede programar en una computadora para no tener que “hacerlo a mano”. En los apéndices puede hallarse un programa en Pascal para realizar esta simulación.

Wolfram define, además, las reglas “legales”,21 las cuales tienen las siguientes características:

       La configuración: 0000000…00000… se puede considerar un estado nulo (o estado base), y esto no cambia con el tiempo. Los físicos y matemáticos suelen decir que es “invariante” en el tiempo.

       Las reglas locales deben ser simétricas, es decir, 001 debe dar el mismo resultado que 100, por ejemplo.

      Wolfram analiza estos autómatas considerando inicialmente la vecindad de cada célula con su casilla inmediata, a la izquierda o a la derecha. No hay razón para no considerar una vecindad más amplia, pero evidentemente, el tomar la vecindad más pequeña, hace el análisis más simple, al menos en un principio.

      He aquí una serie de reglas locales, que Wolfram ha estudiado:

      Diferentes reglas locales.

Veamos un ejemplo completo. Tomemos las reglas locales ya descritas anteriormente. Ésta es la regla 90 (binario 01011010).22 Si consideramos el conjunto de reglas locales, sólo tenemos 256 posibilidades, de 0 a 255. Si en la primera generación, la inicial, ponemos una sola célula en medio de la línea completa, el desarrollo (que se ve cada generación una línea hacia abajo), será el siguiente:

      Regla 90 del autómata celular de una dimensión de Wolfram.

      Puede verse que la imagen generada es literalmente un fractal, es decir, un objeto cuya estructura básica, fragmentada (o irregular), se repite a diferentes escalas. Los árboles, por ejemplo, son fractales. Sus ramas se van adelgazando en más ramas pequeñas, etcétera.

      Otras configuraciones interesantes pueden verse en la siguiente figura:

      Otras reglas locales y sus resultados.

      La cuestión aquí es entonces saber qué resultados nos proporcionan los autómatas celulares en una sola dimensión. ¿Qué nos dicen?

      Debemos comprender que estos autómatas son sistemas dinámicos y podrían ayudarnos a modelar la creación de las formas biológicas. De hecho, hay ejemplos notables de formas —en la biología— que pueden modelarse de esta manera. Algunos dibujos en la piel de ciertas serpientes, las manchas de algunos felinos o bien, la pigmentación de una concha de caracol (véase la imagen), muestran cómo estas reglas locales de un autómata celular en una dimensión en donde solamente dichas reglas tienen influencia en una vecindad de cada célula, modelan muy bien estos eventos biológicos.

Pero más allá de los fenómenos de la vida, los autómatas pueden ser útiles incluso para intentar dar más luz sobre teoremas y conjeturas no resueltas en matemáticas.23 Eso indica probablemente su universalidad.

      Una notable pigmentación de una concha de caracol, la cual se asemeja a un autómata celular en una dimensión.

      21 Es evidente que calificar las reglas como “legales” o “ilegales” no tiene una connotación real; es simplemente una manera de definir cuáles reglas son a las que se les van a dedicar las simulaciones.

      22 El número de regla es simplemente el resultado de las reglas locales leídas de arriba abajo formando un número binario. En el caso del ejemplo, 01011010 binario es en decimal 90.

      23 Véase el apéndice sobre la Conjetura de Collatz y los autómatas celulares en una dimensión.