a generar cierta antipatía entre adultos y jóvenes, a producir resultados negativos, constituyéndose en una de las disciplinas de menor interés. Los jóvenes que se inscriben en facultades científicas están en neta baja mundial (aunque las inscripciones a matemática en Italia están en recuperación).
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática existe algo que no está funcionando bien, es decir, existen demasiadas dificultades en el aprendizaje de la matemática.
¿De qué se trata?
Pese al gran número de estudios realizados básicamente en psicología sobre causas funcionales, orgánicas, sensoriales etc., de los cuales se hace sólo una rápida reseña en este libro; los trabajos de análisis, de estudio, de investigación y las experimentaciones sobre la dificultad en el aprendizaje de la matemática, desde el punto de vista de la investigación en didáctica de la matemática, no son muchos.
Ciertamente, entre los más recientes, limitándonos al panorama italiano, se destaca por su complejidad y profundidad el de Rosetta Zan (2007). Sin embargo, consideramos que una pluralidad de intervenciones y de estudios, también diferentes entre sí, aunque con intersección no vacía, puede orientar al Lector en esta literatura. Entre más estímulos haya, es posible un mayor impulso a analizar las propias situaciones de aula, a escarbar en los motivos, en las causas de estas dificultades, no sólo con finalidad analítica, sino también para poder intervenir con conocimiento de causa y, por tanto, con especificidad.
Así, hemos decidido recoger nuestras ideas y propuestas de reflexión sobre este argumento y proponer un análisis dividiéndolo en cuatro momentos que son finalmente, los capítulos del libro:
el primero, de carácter expositivo general; el segundo, presentando en detalle la teoría de los obstáculos; el tercero, analizando la idea de misconcepción; el cuarto, verificando cómo el contrato didáctico constituye una dificultad específica; una bibliografía final bastante amplia que podría ayudar al Lector deseoso de profundizar estos temas.
Se trata de una pequeña gota en el mar de las dificultades, de lo cual nos damos cuenta perfectamente, pero es una ayuda para quienes, desarmados frente a los múltiples y repetidos errores siempre iguales, no saben qué hacer. Quizás un estímulo crítico, tal vez una recolección de ejemplos, tal vez el mínimo de teoría que eleva el ejemplo a una idea más general, podrán ser de ayuda al lector-docente.
Nuestra firme convicción es que un docente debe ser capaz de reflexionar sobre las dificultades, sobre los errores (que son evidencias externas), sobre las causas, sobre el estudio de intervenciones para remediar; no se puede formar un docente de matemática sólo en matemática y en didáctica, se requiere también introducirlo en las específicas dificultades de las situaciones de aula más realistas y menos demagógicas.
Nuestra esperanza es que este libro ayude a los docentes, que tienen la voluntad de leerlo, meditarlo, a reconocer situaciones ya experimentadas y usarlo.
Los autores
Nota al texto
1. La terminología de la didáctica de la matemática usada en este libro es poco explicada, esto porque se considera que dicha terminología es ya abundantemente difundida entre los docentes de matemática. En general, se hace referencia a D’Amore (1999).
2. Este libro, en el tiempo, ha sido pensado, discutido y realizado al unísono de los cuatro autores, todos miembros del NRD1 de Bologna. Sin embargo, cada uno de los autores ha desarrollado con mayor intensidad el tema-capítulo correspondiente presentando su campo de estudio e investigación actual. Así, Martha Isabel Fandiño Pinilla es autora del Capítulo 1; Bruno D’Amore del Capítulo 2; Silvia Sbaragli del Capítulo 3 e Ines Marazzani del Capítulo 4.
1 NRD Nucleo di Ricerca in Didattica (Núcleo de investigación en Didáctica).
Capítulo 1 Dificultades en matemática y en su aprendizaje
1.1. El sentido de la dificultad en matemática
La palabra «dificultad», un común pero difuso diccionario de la lengua italiana (el de Nicola Zingarelli, editado por Zanichelli en Bologna), la define cómo: «Cualidad de aquello que es difícil. Complicación, molestia, obstáculo, impedimento». La misma definición se encuentra en la enciclopedia Zanichelli.
Las definiciones tienen en común una cierta incoherencia entre un aspecto objetivo (dificultad, obstáculo) de la dificultad y uno más subjetivo («difícil», ¿para quién?, ¿respecto a qué?). Creemos que esta incoherencia reina soberana tanto en la visión popular de dificultad, como en la visión estrictamente escolar. Una materia es definida «difícil» sobre la base de la generalidad estadística de los resultados obtenidos, pero no existen caracterizaciones objetivas de esto (Fandiño Pinilla, 2006, lo demuestra ampliamente en el caso de la matemática).
Ahora, limitándonos a la dificultad en matemática, esta puede asumir por lo menos tres «sentidos» distintos, con referencia a nuestro interés:
• la dificultad en matemática del estudiante,
• la dificultad específica de algunos argumentos de la matemática,
• la dificultad del docente en la gestión de una situación matemática,
recalcando, más o menos en la misma dirección propuesta por Zan (2007), una estructura triangular que nos lleva mentalmente a considerar «el triángulo de la didáctica»: estudiante, docente, Saber (D’Amore 1999; para un análisis detallado de este esquema, véase: D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002).
1.2. Especificidad de la dificultad en matemática
La dificultad en matemática puede ser analizada de forma mucho más específica, siguiendo una indicación que distingue varias componentes en el aprendizaje de la matemática (Fandiño Pinilla, 2005b). En efecto el aprendizaje de la matemática puede incluir diferentes tipos de aprendizajes:
• conceptual (noética);
• algorítmico (saber llevar a término una operación o secuencias compuestas de operaciones elementales, ...);
• estratégico (resolución de problemas, ...);
• comunicativo (argumentaciones, validaciones, demostraciones, ...);
• de la gestión de diversos registros semióticos.
Que las dificultades en estos particulares tipos de aprendizajes sean específicas está a la vista de todos: en efecto, hay estudiantes que han construido conceptos, pero no saben ejecutar algoritmos; estudiantes que llevan a término un algoritmo, pero no saben qué conceptos están a la base de dicha ejecución; estudiantes que han construido conceptos y saben ejecutar algoritmos, pero no saben resolver problemas; estudiantes que han construido conceptos, saben ejecutar algoritmos, saben resolver los problemas pero no saben comunicar aquello que han construido personalmente… y así sucesivamente; es por demás fácil hacer ejemplos para cada nivel escolar.
Por lo tanto, el estudio de las dificultades puede ser específico para cada una de los componentes del aprendizaje de la matemática. No obstante, algunas se entrelazan entre sí.
Efectivamente, pocos han sido los estudios específicos dedicados a la dificultad de la gestión de las diversas representaciones semióticas que el estudiante encuentra desde el primer día de clase (véase: D’Amore, 1998, 2000, 2002a, b, por ejemplo). En uno de estos trabajos (2002b) se da como hipótesis que una de las causas más difundidas del fracaso en el aprendizaje de la