общие представления об окружающем мире, которыми мы, сами того не замечая, постоянно пользуемся, немедленно рассыплется все, как рассыплется вся геометрия (и не одна только она!), если вдруг исключить из нее постулаты и аксиомы Евклида, древнегреческого математика, работавшего в Александрии в III веке до нашей эры и умершего где-то между 275–270 годами.
Именно с них начинается самый знаменитый в истории математики трактат. Сам Евклид называет их аксиомами, но разбивает на два списка. По сложившейся традиции, первый, состоящий из пяти положений, получает название постулатов, второй, из девяти, – аксиом. К слову, они стоят того, чтобы привести их здесь, где говорится об основоположениях правильно организованной мысли. Они еще пригодятся для постижения всего того, что кроется в тайне искомого нами ответа.
Постулаты. Допустим:
1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].
Аксиомы:
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.[22] (То есть не могут замкнуть собою никакую часть пространства).
К слову, первым, кто заговорил о том, что получение даже самого простейшего знания (разумеется, речь идет только о новом, ранее недоступном человеку) связано с действием скрытых механизмов сознания и подсознательными же представлениями о фундаментальных началах нашего мира, был тот же Кант. Согласно его учению, все истины математики опираются на внутреннее созерцание пространства и времени. Именно они, – говорится в «Пролегоменах», – являются теми началами, которые чистая математика кладет в основу своих суждений: геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства, арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени.[23] То и другое существуют для нас только как врожденные, данные нам до всякого опыта реалии нашей собственной психики; все вокруг нас можно представить исчезнувшим – пространство и время останутся с нами даже после этого. «Пространство есть необходимое <…> представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний.