Да-да, одномерный мир, совершенно не сознающий своей убогости, как показал разговор Квадрата с важной персоной Одномерия, бегающей по своей прямой, как косточка счетов по проволоке. Представитель одномерного мира оказался достаточно высокомерным (что случается сплошь и рядом), чтобы презреть все попытки Квадрата поведать ему о двумерности Вселенной.
Сон этот подготовил Квадрата, насколько возможно, к ярчайшему событию в его жизни, происшедшему на переломе двумерных тысячелетий (Эббот не затрагивает проблему времени, но почему бы и летосчислению не быть во Флатландии двумерным?). Перед Квадратом возникает удивительнейшее существо, растущее, убывающее или исчезающее прямо на глазах по своему желанию. Оно называет себя Сферой и уверяет Квадрата, что мир трёхмерен. На эту сцену необходимо обратить особое внимание тем, кто нуждается в обосновании возможностей ясновидения, целительства и прочих многомерных явлений, которые принято называть чудесами. Сфере ничего не стоит заглянуть в двумерно-запертые (и открытые сверху) ящики стола в кабинете Квадрата или узнать, что происходит в соседних комнатах за закрытыми (от кого?) дверями. Сфера может вынуть предмет из шкафа, не открывая этот шкаф. Она может коснуться изнутри желудка Квадрата. Она может исчезнуть, и тогда ее голос раздается как бы в мыслях Квадрата. Даже умнице Квадрату трудно сразу примириться со всем этим. И тогда, не сумев преодолеть непонимание, Сфера вытаскивает двумерного жителя из его плоскостного мира!
И вот герой книги сам видит то, во что не мог поверить. Его взору открыт весь двумерный мир. Он видит сверху (хотя все еще не может понять, как это возможно) бумаги в ящиках своего стола, комнаты своего дома и домов своего города. Он видит скрытые сокровища недр двумерной земли и ещё более таинственные недра храмов двумерной власти… Мало того! Он видит трехмерный мир, поначалу фантастический и невероятный для Квадрата. Постепенно выходец из плоскости проникается неведомой ему до тех пор гармонией и начинает чувствовать, что именно его прежний мир несуразен. Не скудным своим количеством измерений, а закоснелым отношением к себе самому, к жизни и к истине. Недаром Квадрат видит сверху поучительное событие: верховные жрецы Флатландии налагают запрет на бредовые идеи о трёхмерном мире, невзирая на появление среди них самой Сферы, воплощающей трёхмерность.
Однако наш славный герой умеет не только наблюдать, но и думать. Едва освоившись с новой Вселенной, он обращается к Сфере с просьбой – наивной и точной. Он просит показать ему четырёхмерный мир. Сфера опешила, она недоумевает. Какой-такой четырёхмерный мир? И вот уже Квадрат смиреннейшим образом её наставляет. Он рассказывает про увиденное во сне Одномерие, делится своими новыми переживаниями и спрашивает, наконец, Сферу: не было ли и в трёхмерном мире случаев столь же необъяснимых, как те, с которыми он, Квадрат, столкнулся, благодаря Сфере. Если же были (а Сфера этого не отрицает), то не свидетельствуют ли они о следующем, четвёртом измерении бытия?