поверхности радиуса m на другую сферическую поверхность радиуса m1 также невозможно, поскольку кривизна этих двух поверхностей различна. В общем случае: конгруэнтные фигуры возможны только в таких двух точках поверхности или только на таких двух поверхностях, которые имеют одинаковую меру кривизны. Наконец, этот ход мысли приводит к следующему результату: обычная евклидова планиметрия справедлива только для плоскости и для таких поверхностей, которые возникают из плоскости путем изгиба с неизменными внутренними размерами, например, цилиндров и конусов. Если поставить себя на место интеллекта, который смотрит только на два измерения (эту идею в свое время остроумно развил Фехнер)53), то Евклид останется авторитетом только в том случае, если кривые линий этого интеллекта удовлетворяют указанным условиям. В другом случае получается иная планиметрия, чуждая нашим наблюдательным способностям.
Если теперь перейти от плоскости (пространства двух измерений) к стереометрическому пространству трех измерений, то, обобщая только что разработанные понятия, становится ясно, что, во-первых, можно представить пространство, в котором везде преобладает одна и та же мера кривизны, и, во-вторых, такое пространство, в котором мера кривизны меняется; кроме того, существует пространство, в котором мера кривизны = 0, и пространство, в котором она имеет другое значение. Возможны плоское и не плоское пространства. В плоском пространстве можно считать, что любая геометрическая форма тела может переноситься всюду неизменной, конгруэнтной самой себе или геометрически тождественной; в неплоском пространстве она изменяется в процессе переноса, вследствие процесса переноса. Евклидова геометрия справедлива в плоском пространстве, но теряет свою справедливость в неплоском пространстве.
Однако в другом отношении математическое мышление может выйти за пределы обычного способа воображения через обобщение и признать в нем ограниченный частный случай, а именно: в отношении числа измерений. Для нашего восприятия, конечно, максимум мыслимых пространственных измерений – это три. Меньшее число мы можем интуитивно понять, большее – нет. Но абстракция не ограничена рамками интуиции. Если мы обратимся к аналитической геометрии, которая заключается в изобретенном Декартом искусстве выражать пространственные фигуры и формы алгебраическими формулами, то ничто не помешает нам вместе с Риманом и Гельмгольцем представить себе более общее понятие пространства неопределенного числа, n измерений. Точка в пространстве, как известно, определяется в аналитической геометрии совершенно однозначно по трем координатам. Если известны длины трех перпендикуляров x, y, z, проведенных из точки к трем координатным плоскостям, пересекающимся под прямым углом, то положение точки в пространстве полностью определено. Здесь кроется математико-аналитический характер нашего пространства, и, следовательно, можно дать аналитическое формальное определение: трехмерное