геометрические аксиомы Евклида относятся ко второму классу.
Критицизм Канта содержит три различных утверждения. Первое: аксиомы евклидовой геометрии и, соответственно, евклидового пространства не являются логически необходимыми. Во-вторых: они, однако, неизбежны для меня и для всякой способности восприятия, подобной моей, т.е. их противоположность, хотя и не содержит противоречия, интуитивно немыслима; это чистые необходимости восприятия или, что означает то же самое, восприятия a priori. В-третьих: поскольку они даны как необходимые в силу организации моей способности восприятия, но не в силу логики, они являются subjectio.
«Ведь мы не можем судить о взглядах других мыслящих существ, связаны ли они теми же условиями, которые ограничивают наш взгляд и вообще действительны для нас. Именно поэтому фундаментальные геометрические истины называются синтетическими, а не аналитическими суждениями a priori, так как их необходимость становится очевидной не через разрешение (анализ) предмета на его понятийные характеристики в соответствии с принципами тождества и противоречия, а только через добавление чего-то другого, а именно: данный закон нашего пространства, есть соединение (синтез) субъекта и предиката принудительно». Теперь Гаусс, Риман и Гельмгольц полностью согласны с первой частью критического тезиса, иначе они не могли бы увлечься идеей метагеометрии. Они показывают, что неэвклидово пространство, хотя и не является видимым, тем не менее, может быть понято in abstracto как не содержащее никакого понятийного противоречия, а лишь логически представляющее более общий случай.
Быть способным «мыслить» здесь означает, согласно логическому словоупотреблению, признавать нечто понятийно, не вступая в противоречие, а значит, признавать это как логическую возможность, независимо от того, дан, может быть дан или нет объект, соотносящийся с понятием. В этом общепризнанном смысле мыслимо также и Божество, и actio in distans, как i. sin φ. Что касается второй части критического тезиса, то даже эти выдающиеся математики, как мне кажется, не пришли к какой-либо ясности. Они обычно высказываются так, как будто необходимость восприятия им совершенно неизвестна и как будто существует только логическая необходимость. Теперь я охотно допускаю, что для математического аналитика, имеющего представление о континууме с неопределенным числом (n) измерений и постоянной или переменной мерой кривизны, отличной от нуля, наше плоское пространство трех измерений, т.е. страдающее постоянной мерой кривизны нулем, должно выглядеть как очень ограниченный частный случай и, с логической точки зрения, просто как факт, а не как необходимость. Именно это и означает априоризм. С другой стороны, для восприятия этот своеобразный континуум является не просто фактом, но – не знаю почему! – необходимым. Интеллектуальный факт такой необходимости нельзя отрицать. Если бы кто-то стал уверять нас, что он смотрит на комнату или на мир в комнате, в котором