исходя из сказанного, совершенно очевидно, что:
log3 (9) = 2
log5 (125) = 3
log10 (10000) = 4
Ну и напоминаем, что
log3 (1) = 0
log5 (1) = 0
log78 (1) = 0
Или в общем случае
loga (1) = 0, a ≠ 0, a ≠ 1
Опять же, чисто исторически сложилось, что в качестве основания логарифма чаще всего принимается два числа – число «e» и 10. Логарифм по основанию «e» называют натуральным, а по основанию 10 – десятичным. Обычно натуральный логарифм обозначают
ln (a),
а десятичный
lg (a)
Давайте кратко рассмотрим два наиболее часто встречающихся основания логарифма. С десяткой «все ясно» – это основание нашей системы счисления и совершенно логично равно количеству пальцев на руках (если бы наша цивилизация была цивилизацией токарей-математиков, основанием системы счисления могло бы быть и 8, и 6 – в зависимости от удачливости токарей). А что такое «e»? Это такое очень интересное число, которое является одной из фундаментальных математических констант (наряду, например, с числом π) и всплывает в большом количестве реальных проблем. Если есть несколько минут времени, можно посмотреть вот этот9 ролик про число «e». Что еще можно сказать про «e»? Ну, например, то, что оно иррациональное – то есть не может быть вычислено как частное двух целых чисел. В десятичной записи оно имеет бесконечное число знаков после запятой. Также число «e» является трансцендентным – то есть не является корнем ни одного многочлена с целыми коэффициентами. Впрочем, этот факт уже совсем не относится к делу.
Возвращаясь к логарифмированию. Различия в основаниях в подавляющем большинстве случаев никак не сказывается на результате, поскольку для логарифмов действует довольно простое правило замены основания:
loga (b) = logc (b) / logc (a),
то есть для перехода от десятичного логарифма к натуральному результат надо разделить на константу – на натуральный логарифм 10:
lg (a) = ln (a) / ln (10)
Ну или в обратную сторону – от натурального к десятичному:
ln (a) = lg (a) / lg (e)
Поэтому когда речь идет о логарифмировании какой-то выборки, то основание особой роли не играет: любые результаты логарифмирования отличаются друг от друга на постоянный множитель, что не оказывает никакого влияния на характер распределения.
У логарифма есть одно чрезвычайно полезное свойство (правда, в плане обработки выборок, кажется, не применимое):
log (a * b) = log (a) + log (b)
То есть с помощью логарифмирования умножение сводится к значительно более простой операции сложения. И эта особенность логарифмов, например, дала возможность создать аналоговую вычислительную машину, хорошо знакомую «бумерам» – логарифмическую линейку10.
Ну и одно неприятное свойство логарифма: логарифм нуля не существует (а в выборках