Каждый из таких моментов неделим далее. В каждый такой момент стрела занимает определенное место, т. е. покоится в этом месте. Тот факт, что стрела покоится, вытекает из неделимости момента времени. Если бы происходила перемена места, мы должны были бы признать длительность момента, что невозможно. Но коль скоро стрела находится в покое в любой момент времени, то она вообще не движется.
Вторая апория называется «Ахиллес и черепаха» и утверждает, что быстрый бегун не сможет догнать медленно ползущую черепаху. Предположим, для определенности, что бегун бежит в два раза быстрей черепахи. До начала погони их разделяет некоторое расстояние. Когда преследующий пробежит это расстояние, черепаха отползет наполовину. Когда он преодолеет эту половину, она отползет еще на четверть и т. д. Сколько бы ни бежал преследователь, его всегда будет отделять от черепахи некоторое расстояние.
К этим рассуждениям Зенона можно сделать несколько комментариев. Первый состоит в том, что, по мысли Зенона, рассуждение приводит к выводам, опровергающим наши чувства. Мы вроде бы видим, что стрела летит, а бегун догоняет черепаху. Рассуждение же показывает, что это невозможно. Чувство, уверяющее нас, что движение существует, нас обманывает.
Второй комментарий относится к логической структуре аргументации. Заметим, что для убедительности рассуждения недостаточно было рассмотреть одну апорию. Каждая из приведенных апорий опирается на определенную предпосылку. В апории «Стрела» эта предпосылка высказана явно: время состоит из неделимых моментов. Именно на этом основании мы приходим к выводу, что движущаяся стрела всегда остается на месте. Но возможно мы просто исходим из ложной посылки и время, в действительности, не состоит из неделимых моментов. В таком случае нам следует принять противоположную посылку: время делимо до бесконечности. Но именно это допущение приводит к апории об Ахиллесе и черепахе. Таким образом, оказывается, что движение в самом деле невозможно, а существует лишь покоящееся.
Чтобы завершить разговор об апориях, нужно сказать об Ахиллесе и черепахе еще несколько слов. Может возникнуть впечатление, что эта апория легко опровергается, если вспомнить о сходящихся бесконечных рядах. Приняв исходное расстояние между Ахиллесом и черепахой за i, можно сказать, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав расстояние, выражаемое бесконечной суммой:
1 + 1/2 + 1/4+1/8 +…
Этот ряд, как известно, сходится, т. е. его сумма, несмотря не бесконечное число членов, равна конечной величине, а именно 2. Следовательно, пробежав расстояние равное 2, Ахиллес таки догонит черепаху!
Однако не все так просто. Попробуем уточнить, что такое сумма бесконечного ряда. По определению, если говорить об этой задаче, она есть предел последовательности конечных сумм вида:
S1 = 1
S2 = 1+1/2
S3 = 1+1/2+1/4
S4 = 1+1/2+1/4+1/8
S5 = 1+1/2+1/4+1/8+1/16
…………………………………
Иначе говоря, предел последовательности {Sn} при n→∞ равен 2.
Вспомним теперь определение предела