и т.д. до числа «девять». Числа после 9 и до 99 складываются из десятков и единиц, например, 23=(10+10)+(1+1+1) и получают соответствующие имена: «десять», «одиннадцать», «двенадцать» … «девяносто девять». Числа после 99 складываются из сотен, десятков и единиц и т.д. Таким образом, имена только начальных чисел должны быть заранее сосчитаны из единиц. Все остальные числа именуются так, чтобы их величину можно было сосчитать, используя только начальные числа39.
3.2.2. Аксиомы действий
Все арифметические действия входят составной частью в определение сущности числа. В компактном виде они представляются следующим образом:
1. Сложение: n = (1+1…)+(1+1+1…) = (1+1+1+1+1…)
2. Умножение: a+a+a+…+a=a×b=c
3. Возведение в степень: a×a×a×…×a=ab=c
4. Вычитание: a+b=c → b=c−a
5. Деление: a×b=c → b=c : a
6. Логарифм: ab = c → b=logac
Отсюда можно сформулировать все нужные определения в виде аксиом.
Аксиома 1. Действие сложения нескольких чисел (слагаемых) – это их соединение в одно число (сумму).
Аксиома 2. Все арифметические действия являются либо сложением, либо производными от сложения.
Аксиома 3. Существуют прямые и обратные арифметические действия.
Аксиома 4. Прямые действия – это разновидности сложения. Кроме самого сложения к ним относятся также умножение и возведение в степень.
Аксиома 5. Обратные действия – это вычисление аргументов функций. К ним относятся вычитание, деление и логарифм.
Аксиома 6. Не существуют иные действия с числами, кроме комбинаций из шести арифметических действий40.
3.2.3. Базовые свойства чисел
Следствием аксиом действий являются следующие базовые свойства чисел, обусловленные необходимостью практических вычислений:
1. Наполнение: a+1>a
2. Нейтральность единицы: a×1=a:1=a
3. Коммутативность: a+b=b+a; ab=ba
4. Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)
5. Дистрибутивность: (a+b)c=ac+bc
6. Сопряженность: a=c → a±b=b±c; ab=bc; a:b=c:b; ab=cb; logba= logbc
Эти свойства известны давным-давно как азы начальной школы и до сих пор они воспринимались как элементарные и очевидные. Отсутствие должного понимания происхождения этих свойств из сущности понятия числа стало причиной разрушения науки как целостной системы знаний, которую нужно теперь отстраивать, начиная с азов и сохраняя при этом всё то ценное, что осталось от настоящей науки. Приведённая выше аксиоматика исходит из определения сущности понятия числа и поэтому представляет собой единое целое. Однако этого недостаточно для того, чтобы оградить науку от другой напасти, т.е. чтобы в процессе развития она не утонула в океане собственных изысканий, или не запуталась в сложных переплетениях большого множества разных идей.
В этом смысле нужно очень чётко понимать, что аксиомы не являются утверждениями, принятыми без доказательств. В отличие от теорем, они есть только констатации и ограничения,