производная цены финансового инструмента по требуемой доходности равна произведению модифицированной дюрации этого инструмента на его цену с обратным знаком.
Основное свойство дюрации – при малых изменениях требуемой доходности имеет место равенство
Геометрическая иллюстрация равенства (1.34) приведена на рис. 1.11.
Расчет дюрации финансового инструмента при требуемой доходности 10 % приведен в таблице:
Таким образом, дюрация Маколея финансового инструмента равна 2,155 года.
Тогда модифицированная дюрация находится следующим образом:
Если требуемая доходность увеличится на 10 базисных пунктов, то
т. е. цена финансового инструмента упадет на 0,2 %.
Если же требуемая доходность мгновенно упадет на 200 базисных пунктов, то цена финансового инструмента вырастет приблизительно на 4,104 %, так как
Точные значения относительного изменения цены финансового инструмента в этих двух случаях соответственно равны -0,002049 и 0,04222.
Дюрацию обыкновенной ренты с полугодовыми платежами можно найти по формуле:
где r – требуемая доходность (при начислении процентов дважды в год);
n – число платежей ренты.
В частности, дюрация бессрочной ренты определяется равенством
Дюрация Маколея облигации с полугодовыми купонами, когда до ее погашения остается в точности п полугодовых периодов, может быть найдена по формуле
где r – требуемая доходность при начислении процентов дважды в год;
f – купонная ставка облигации;
H – отношение приведенной стоимости ренты из купонных платежей к цене облигации.
Пример 1.35. Дана 7 %-ная облигация с полугодовыми купонами, когда до ее погашения остается 20 лет, а требуемая доходность – 10 %.
В данном случае r = 0,1, f = 0,07, n = 40, q = 3,50 долл.
Приведенная стоимость ренты из полугодовых купонных платежей может быть найдена следующим образом:
Для расчета модифицированной дюрации любого финансового инструмента с заданным потоком платежей можно использовать следующую приближенную формулу:
Пример 1.36. Рассмотрим облигацию из примера 1.35. Точное значение модифицированной дюрации этой облигации 9,18023 года. Найдем модифицированную дюрацию с помощью приближенной формулы (1.38) при Δу = 20 базисных пунктов.
Основные утверждения о дюрации Маколея для купонных облигаций с полугодовыми купонами, когда до очередного купонного платежа остается 6 месяцев:
1. Дюрация любой купонной облигации не превышает срока до ее погашения, а дюрация облигации с нулевым купоном всегда совпадает со сроком до ее погашения.
2. Если купонная ставка облигации отлична от нуля, то чем больше требуемая доходность, тем меньше дюрация.
3. Если до погашения