струна на дві третини коротша за іншу, то породжені ними дві ноти утворюють «квінту» – особливо приємне суголосся. Якщо одна струна на три чверті коротша за іншу, то вони породжують приємне суголосся під назвою «кварта». Натомість якщо довжини двох струн не порівнянні між собою як малі цілі числа (наприклад, якщо одна струна, скажімо, у 100 000/314 159 раза коротша за іншу) або не порівнянні між собою як цілі числа взагалі, тоді звук буде різким і неприємним. Сьогодні ми знаємо, що для того є дві причини: урегулювання періодичності звуку, породженого двома струнами за одночасної гри, та узгодження обертонів, породжених кожною струною (див. технічну примітку 3). Нічого з цього не розуміли ані піфагорійці, ані фактично ніхто інший, поки аж у XVII столітті не з’явилася робота французького священика Марена Мерсенна. Замість цього, за словами Арістотеля, піфагорійці вважали «все небо музичною шкалою»3. Ця ідея проіснувала ще довго. Наприклад, Цицерон у своєму творі «Про державу» розповідає історію, у якій привид видатного римського генерала Сципіона Африканського знайомить свого онука з музикою сфер.
Найбільшого прогресу піфагорійці досягли радше в математиці, ніж у фізиці. Усім відома теорема Піфагора про те, що площа квадрата, стороною якого є гіпотенуза прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ двох квадратів, сторони яких є двома катетами цього трикутника. Але невідомо, хто з піфагорійців довів цю теорему (якщо це взагалі було) і як. Просте її доведення можна вивести з теорії пропорцій, яку запропонував піфагорієць Архіт Тарентський, сучасник Платона (див. технічну примітку 4). Складніше доведення представлене як припущення 46 Книги І «Начал» Евкліда. Архіт також розв’язав відому проблему: як, маючи куб, за допомогою суто геометричних методів побудувати інший куб точно вдвічі більшого об’єму.
Теорема Піфагора привела безпосередньо до іншого великого відкриття: геометричні побудови можуть включати в себе довжину, яку не можна виразити як відношення цілих чисел. Якщо кожна із двох сторін прямокутного трикутника, прилеглих до прямого кута, має довжину (у будь-яких одиницях вимірювання), що дорівнює 1, тоді загальна площа двох квадратів із такими катетами буде 12 + 12 = 2. Тому, згідно з теоремою Піфагора, довжина гіпотенузи має становити число, квадрат якого дорівнює 2. Але ж легко продемонструвати, що число, квадрат якого дорівнює 2, не може бути виражене як відношення цілих чисел (див. технічну примітку 5). Доказ цього наведений у Книзі X «Начал» Евкліда, а крім того, його вже згадував раніше Арістотель у своїй «Першій аналітиці»4 як приклад reductio ad impossibile (приведення до неможливого), але без зазначення першоджерела. Існує легенда, що це відкриття належить піфагорійцю Гіппасу, імовірно, родом із Метапонта на півдні Італії, якого чи то вигнали, чи то вбили піфагорійці за розголошення відкритого.
Сьогодні ми могли б описати це як відкриття, що такі числа, як, наприклад, квадратний корінь із 2, ірраціональні – вони не можуть бути виражені як відношення