називали трикутними, бо відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 8, 16 і т. д. – квадратними, оскільки відповідну кількість камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, тощо.
Коли Піфагор зробив необхідні обчислення своєї теореми, він одержав дивний результат: співвідношення діагоналі квадрата до його сторони не може дорівнювати ніякому дробу! Піфагор був вражений. Виходить, навіть серед ідеальних тіл геометрії не існує повної гармонії! Він вирішив, що цей факт слід приховати від невігласів до тих пір, поки знавці до кінця збагнуть гармонію математичного світу! Так і було зроблено. Тому вчення Піфагора не відбилося ні в якій книзі, а передавалося з вуст у вуста – з суворою забороною говорити відверто з чужинцями.
Із простих геометричних конфігурацій виникали певні властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці відкрили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює певному квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (у сучасних позначеннях) п2 – квадратне число, то n2 + 2n +1 = (η + 1)·2. Число, рівне сумі всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим числом. Прикладами досконалих чисел можуть бути такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожне із чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 – дружні числа (і тут саме число виключається із власних дільників).
Стародавні греки розв’язували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення й поділу відрізків, добування квадратного кореня із довжин відрізків; нині цей метод називається геометричною алгеброю.
Приведення задач до геометричного вигляду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними співвідношеннями можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї строгої математики принаймні до 1600 року. І навіть в XVIII столітті, коли вже були досить розвинені алгебра й математичний аналіз, строга математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначне слову «математик».
Саме піфагорійцям ми багато в чому завдячуємо тією математикою, що потім була систематизовано викладена й доведена в «Началах» Евкліда. Є підстави думати, що саме вони відкрили те, що нині відомо як теореми про трикутники, паралельні прямі, багатокутники, кола, сфери і правильні багатогранники.
Одним із найвидатніших піфагорійців став Арістокл (бл. 427–347 рр. до н. е.), який був учнем Сократа і дістав прізвисько Широкоплечий, тобто Платон, під яким і ввійшов в історію. Платон був переконаний, що фізичний світ можна збагнути лише за допомогою математики. Вважають, що саме йому належить заслуга винаходу аналітичного методу доведення. (Аналітичний метод починається із твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться наслідки доти, доки не