bei den reellen Zahlen) ergeben keine Unendlichkeit anderer Art. Dass die Menge der möglichen Unendlichkeiten größer als unendlich ist, bedeutet nur, dass man aus einer Unendlichkeit mehrere Unendlichkeiten machen kann. Und z.B. die unendliche Menge der natürlichen Zahlen ist nicht größer als die unendliche Menge der geraden Zahlen, da es nur eine unendliche Menge der natürlichen Zahlen gibt, und wenn man daraus eine weitere unendliche Menge wie die Menge der geraden Zahlen erzeugt, ist dies nicht mehr die Menge der natürlichen Zahlen. Eine irrationale Zahl hingegen ist eine unendliche Menge, und eine Variation davon ist immer noch eine irrationale Zahl.
Betrachtet man Zahlen als Zahlenfolgen, gibt es von den natürlichen Zahlen unendlich viele, weil immer mehr Stellen hinzugefügt werden können. Reelle Zahl haben bereits unendlich viele Stellen. Von ihnen gibt es unendlich viele, weil die unendlich vielen Stellen variiert werden können. Verändert man immer nur eine Stelle, ergibt dies unendlich viele reelle Zahlen. Verändert man jedoch auch die anderen, immer noch unendlich vielen Stellen, ergeben sich unendlich viele mal unendlich viele Stellen. Es gibt also für jedes Element einer unendlichen Menge wieder eine unendliche Menge. Deswegen handelt es sich hier jedoch nicht um eine andere Art von Unendlichkeit, sondern schlicht um unendlich viele Unendlichkeiten. Unendlich viele unendliche Listen würden also Variationen von unendlichen Zahlenreihen bzw. alle reellen Zahlen enthalten. Eine natürliche Zahl oder eine unendliche Zahl an Unendlichkeiten sind natürlich mehr als eine Unendlichkeit, genau wie jede Zahl größer 1 eben mehr als 1 ist. Aber es ist keine andere Art von Unendlichkeit.
Es gibt verschiedene unendliche (Vorkomma-) Zahlen bzw. Zahlenreihen, aber nur eine unendliche Menge bzw. nur eine Art von Unendlichkeit, nämlich eine Menge ohne Ende. So können verschiedene Zahlen gleich groß sein. Denn verschiedene unendliche (Vorkomma-) Zahlen sind alle „unendlich groß“. Diese verschiedenen Zahlen beschreiben alle eine unendliche Menge. Eine unendliche Zahl kann man jedoch auch als unendliche Folge an endlichen Zahlen verstehen. Als Zahlenfolgen beschreiben sie verschiedene unendliche Folgen an endlichen (immer größer werdenden) Zahlen (und damit Mengen). Da diese Folgen jedoch unendlich sind, beschreiben sie alle eine unendliche Menge. Eine Zahl mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen beschreibt einen Zustand, der sich als unendliche Folge aus immer kleineren Zuständen auffassen lässt. Da die Zahlen immer kleiner werden, beschreiben diese Zahlen jedoch unterschiedliche endliche Mengen. Nun könnte man meinen, dass diese Mengen auch irgendwie unendlich sind, da sich ihr Ende aufgrund der immer kleineren Zustände nicht bestimmen lässt, und es ja gerade kein Ende der immer kleineren Zustände gibt. Den Punkt des Endes geben diese Zahlen jedoch selbst an. Definiert man die Zahlen anders, so scheint es mir, könnte man der gleichen Menge eine endliche Zahl als Begriff zuordnen. Denn auch jedes endliche Element könnte in der Wirklichkeit unendlich fein verzweigte Ränder aus immer kleineren Elementarteilchen haben.
Bei dem Gedankenexperiment Hilberts Hotel soll in einem Hotel mit unendlich vielen, belegten Zimmern, für einen neuen Gast ein Zimmer frei gemacht, ohne dass ein anderer Gast zimmerlos wird. Dies erscheint unmöglich, da sich die Unendlichkeit der Räume und die Unendlichkeit der Gäste aufheben, also deckungsgleich sind. Aus einer Unendlichkeit lässt sich jedoch jede endliche Zahl (und auch jede Zahl weiterer Unendlichkeiten) „erzeugen“, in dem man die Zuordnung der Elemente einer unendlichen Menge anders definiert. So könnte man aus der unendlichen Menge an Zimmern eines für den neuen Gast „entnehmen“ und die übrige Menge bleibt immer noch unendlich und reicht damit für die bisherigen, unendlich vielen Gäste. Angewendet auf die physische Wirklichkeit bzw. angewendet auf ein System mit Zeit könnte das bedeuten, dass jeder Gast ein Zimmer weiter zieht, und so das erste Zimmer frei wird. So kann der Zielzustand jedoch nicht erreicht werden. Denn es ist nicht möglich, dass unendlich viele Gäste zugleich erfahren, dass sie umziehen müssen. Es gäbe also einen unendlichen Umzugsprozess, bei dem immer mindestens ein Gast zimmerlos ist, da er gerade umzieht. Die Zimmerlosigkeit des neuen Gastes wird also in einer unendlichen Kette verlagert über alle bisherigen Gäste. Das Gedankenexperiment ist also nur theoretisch gültig und vernachlässigt, dass man etwas Unendliches nicht in endlicher Zeit bewegen kann. Nimmt man dieses Umstand mit in die Theorie auf, dann ist das Gedankenexperiment auch theoretisch nicht möglich. Die Verschiebung einer unendlichen Menge, wie es für das Hinzufügen eines neuen Gastes nötig wäre, ist nicht in endlicher Zeit möglich. Der Zustand, dass ein neuen Gast ein Zimmer hat, ohne dass ein anderer zimmerlos ist, kann nicht erreicht werden, da er am Ende des unendlichen Prozesses läge.
8. Herkömmliches und Fortführendes: Bruch intuitiver Logik in der Mathematik
Die Zahlenfolge 1+1+1+1+… entspricht in der Mathematik entweder der Unendlichkeit (als unendlich große Menge), oder –1/2. Es gibt mehrere solcher falsch erscheinenden Gleichsetzungen unendlicher Summen. Es scheint, als ob im Beweis ein Fehler in den angewandten mathematischen Regeln liegen muss. Die unendliche Summe aus 1-1+1-1+1… hat in der Mathematik entweder keine endliche Summe – oder aber 1/2. Betrachtet man die Summe als Prozess, bei dem man einen Schritt nach dem anderen rechnen muss, würde man immer zwischen 1 und 0 hin und her springen. Hier erscheint es vielleicht sinnvoll zu sagen, dass der Schnitt bei 1/2 liegt. Die unendliche Summe mit einem endlichen Wert gleichzusetzen scheint jedoch unlogisch zu sein, denn es gibt kein Ende im unendlichen Prozess der Rechnung. Da die Summe unendlich ist, scheint es mir logisch unmöglich, sie nicht als unendlichen Prozess zu betrachten, der aufgrund seines wechselndes Ergebnisses sich nicht zu einem Wert zusammenfassen lässt (die Summe konvergiert nicht).
Es stellt sich die Frage warum man in der Mathematik Regeln aufstellt bzw. anwendet, welche eigentlich offensichtlich unlogisch sind. Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon lässt sich eine Kugel logisch verdoppeln. Eine Logik die das zulässt ist jedoch nicht logisch. Es handelt sich deswegen um ein „Paradoxon“, weil wir intuitiv sagen, dass es nicht sein kann bzw. sein darf. Und Logik ist in gewissem Sinne letztendlich auch nur, was wir „logisch“ finden bzw. als logisch festlegen. Deswegen, so scheint es mir, ist die Logik bzw. die Mathematik in diesem Fall fehlerhaft, bzw. sollte als fehlerhaft betrachtet werden. Es gibt zwar in der Mathematik komplexe Erklärungen und Beweise der zahlreichen, intuitiv unlogischen Phänomene, jedoch kenne ich mich zu wenig aus um nachvollziehen zu können, ob diese meine Argumentationen widerlegen können. Eine Möglichkeit wäre also, dass unsere intuitive Logik falsch ist und wir eine bessere bzw. „wahrere“ Logik erkennen können. Wie kann jedoch unsere Intuition falsch sein, wenn uns ihre Begründung doch so offensichtlich richtig und logisch erscheinen? Die Mathematik scheint absichtlich die Logik zu brechen, um über die Grenzen der Logik hinaus als sprachliches Konstrukt agieren zu können. Mit der Sprache der Mathematik stellen wir also Behauptungen auf, die unserer intuitiven Logik widersprechen. Mit intuitiver Logik meine ich, dass sie gegeben ist, und wir nichts daran ändern können, dass wir z.B. denken, dass wenn man zu etwas immer etwas hinzugefügt, es dann nur immer mehr wird, und dass dies auch in der Unendlichkeit gilt. Wir können jedoch nicht anders als Sachen als falsch zu betrachten die dieser intuitiven Logik widersprechen. Unsere grundlegendsten intuitiven Logiken erscheinen uns so unumgehbar, dass es uns unsinnig erscheint ihr widersprechende Behauptungen aufzustellen. Dennoch scheint es sinnvolle Anwendungen (auch in der physischen Wirklichkeit) für solche Mathematik zu geben.
„Logisch“ wird oft synonym zu (im tautologischen Sinne) folgerichtig bzw. richtig geschlussfolgert verwendet, und „unlogisch“ synonym zu widersprüchlich. Zwei Aussagen sind also logisch, wenn die eine aus der anderen folgt (bzw. beide aus anderen Aussagen folgen), und sie sind unlogisch, wenn sie sich widersprechen (bzw. anderen Aussagen widersprechen). Jedoch kann nicht nur eine Schlussfolgerung logisch sein, sondern auch jegliche Information – nämlich dann, wenn sie den Regeln einer Logik entspricht.
In der herkömmlichen Definition von Logik bezüglich Wenn-Dann-Aussagen scheint es mir einen Fehler zu geben. Das Problem habe ich unter folgendem Link dargelegt: bit.ly/wenndann
9. Gefühl der Freiheit
Das Gefühl der Freiheit scheint ein grundlegender Bestandteil von Bewusstsein bzw. Selbstbewusstsein zu sein. Unsere erlebte Freiheit, also die Willensfreiheit bzw. geistige Freiheit, ist jedoch nur ein illusionäres Gefühl (BI). Denn wir nehmen an, dass alle Bewegungen in der Wirklichkeit deterministisch (oder auf Quantenebene zufällig) ablaufen,