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Versicherungsmanagement


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      Die Standardabweichung der Schadenhöhe ist also 64.698,82 EUR.

      Die Einheit der Standardabweichung entspricht derjenigen der Zufallsvariable. Liegen die Ausprägungen der Zufallsvariable nahe beim Erwartungswert, so ist die Standardabweichung klein. Streuen sie weit um den Erwartungswert, so ist die Standardabweichung groß. Ebenso wie die Varianz kann auch die Standardabweichung nicht negativ werden. Bei manchen Wahrscheinlichkeitsverteilungen können mithilfe der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeitsaussagen abgeleitet werden. Beispielsweise liegen bei der Normalverteilung 68 % der Realisierungen im Bereich von zwei Standardabweichungen um den Erwartungswert (d. h. im Bereich von E(X) − σ(X) bis E(X) + σ(X)).

      Im finanz- und versicherungswirtschaftlichen Kontext wird die Standardabweichung der Änderungen relevanter Größen auch Volatilität genannt und oft als einfaches Risikomaß verwendet, weil sie Informationen über das Ausmaß der Schwankung dieser Größen liefert.

      Abbildung 8 zeigt zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Varianzen und Standardabweichungen. Die Verteilung auf der linken Seite hat eine Standardabweichung in Höhe von σ(X) = 104. Die Standardabweichung der Verteilung auf der rechten Seite ist mit σ(X) = 210 mehr als doppelt so groß. Beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben einen Erwartungswert von ca. 1.050.

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      Abb. 8: Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Standardabweichungen

      1.3.4 Gesetz der großen Zahlen

      In großen Versicherungskollektiven kommt ein zentraler Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie zum Tragen, der als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird. Letzteres besagt sinngemäß, dass mit zunehmender Anzahl der Beobachtungen eines Zufallsvorgangs der Erwartungswert des Zufallsvorgangs immer zuverlässiger durch den Mittelwert der Beobachtungen abgebildet wird. Das Gesetz wird zunächst anhand eines einfachen Beispiels veranschaulicht, um im Anschluss seine Bedeutung im Rahmen der Versicherungswirtschaft darzulegen.

      Beispiel 13 (Gesetz der Großen Zahlen):

      Ist X eine diskrete Zufallsvariable, welche der geworfenen Augenzahl beim einmaligen Werfen eines sechsflächigen, »fairen« Würfels entspricht, so ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die folgende Tabelle gegeben:

      Tab. 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X (Augenzahl beim Werfen eines Würfels)

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      Der Erwartungswert E(X) der Zufallsvariable X ist dann

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      Der Würfel wird nun mehrmals hintereinander geworfen und es werden die Anzahl n der Würfe sowie die jeweils geworfenen Augenzahlen festgehalten, sodass der Mittelwert der Augenzahlen berechnet werden kann. Wird der Würfel bspw. n = 5 mal hintereinander geworfen, wobei die Augenzahlen 5, 3, 6, 1 und nochmals 1 fallen, so ist der Mittelwert image. Nach 5, 10, 25, 50, 100 und 500 Würfen ergeben sich die in Tabelle 4 angegebenen Mittelwerte.

      Der Mittelwert kommt dem Erwartungswert beliebig nah; er konvergiert gegen den Erwartungswert für n gegen unendlich. Abbildung 9 veranschaulicht diesen Sachverhalt grafisch.

      Tab. 4: Mittelwerte der Augenzahlen nach n-maligem Werfen eines Würfels

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      Abb. 9: Mittelwerte der Augenzahlen nach n-maligem Werfen eines Würfels

      1.4 Ausgleich im Versicherungskollektiv

      Um die Wirkung der Zusammenfassung von Risiken in einem Versicherungskollektiv weiter zu ergründen, betrachten wir beispielhaft ein einfaches Kollektiv, welches zunächst aus lediglich zwei Personen besteht, deren Risiken voneinander unabhängig sind, sodass anhand des Eintretens eines Schadens bei der ersten Person keine genauere Vorhersage über das Eintreten eines Schadens bei der zweiten Person getroffen werden kann.

      Beispiel 14 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 1):

      Lena und Paul haben sich gegen Unfälle versichert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich innerhalb des nächsten Jahres ein Unfall ereignet, sei bei beiden gleich groß und betrage sowohl bei Lena als auch bei Paul jeweils p = 10 %. Die beiden kennen sich nicht und haben unterschiedliche Wohnorte, sodass man davon ausgehen kann, dass das Eintreten eines Unfallschadens bei Lena unabhängig von dem Eintreten eines Unfallschadens bei Paul ist.

      Um das Beispiel einfach zu halten, modellieren wir die Schadenhöhe bei den beiden Versicherungsnehmern (Lena und Paul) als diskrete Zufallsvariable, die lediglich zwei Ausprägungen annehmen kann. Falls es bei einer der beiden Personen zu einem Unfall kommt, betrage die Schadenhöhe 1.000 Euro; wenn es zu keinem Schaden kommt, so ist die Schadenhöhe natürlich 0 Euro. Mehr als ein Schadenereignis pro Person und Jahr sei nicht möglich.

      Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Versicherungsnehmer sind somit identisch.

      Wahrscheinlichkeitsverteilung für Lena:

      Tab. 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Lena

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      Wahrscheinlichkeitsverteilung für Paul:

      Tab. 6: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Paul

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      Bevor Paul und Lena in einem Versicherungskollektiv zusammengefasst werden, ergibt sich für eine einzelne Person der Erwartungswert der Schadenhöhe somit aus

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      und