«Полного финитно описываемого набора аксиом в арифметике не существует».
Это утверждение можно выразить иначе, на более привычном языке.
Например:
Можно построить логически непротиворечивую теорию, но нельзя доказать её истинность.
Тогда такое следствие:
Какими бы логичными ни казались, скажем, концепция души или рефлекторная теория мозга, нельзя сформулировать аргументы в пользу того, что они неопровержимо верны.
Или такая формулировка теоремы:
Выразить полностью какую-либо сложную научную теорию при помощи средств любого естественного языка невозможно.
И её следствие:
Если вы не разбираетесь в математике и не собираетесь этого делать, то в случае создания новой научной теории (например, Теории Всего) вы её никогда не поймёте.
Чтобы пояснить, почему формулировка и следствия теоремы Гёделя, выходят так далеко за пределы арифметики, разберёмся с терминами.
Все высказывания (как в математике, так и в любом естественном языке) могут быть неопределёнными и определёнными. О первых сказать, ложны они или истинны, нельзя. О вторых – можно.
Некоторой аналогией тут служит различие между открытыми и закрытыми вопросами. Если вам задают открытый вопрос (начинается с «как», «что такое», «почему» и т.п.), вы не можете содержательно и определённо ответить, сказав «да» или «нет». Однако при ответе на закрытый вопрос («так ли это?», «это случилось там-то?» и т.д.) только эти два варианта имеют смысл.
Таким образом, Гёдель заключил, что все аксиомы в математике – это определённые истинные высказывания (мы назовём их «первичными истинами»). А все, следующие из них высказывания, выраженные на каком-либо естественном языке, – определённые и истинные тоже («вторичные истины»).
Тогда формируются два множества: все «первичные истины» (множество с числом элементов n) и все «вторичные истины» (множество с числом элементов m).
Сформулированный Гёделем вопрос заключается в следующем: можно ли – всегда и во всех случаях – из «вторичной истины» вывести «первичную истину»?
Или так: содержатся ли в наших естественных языках уже все аксиомы, которые мы ещё не успели описать на языке математики?
Короче: существует ли такая формула (способ, правило), которая всегда выводит n из m?
И совсем коротко: n = m?
Курт Гёдель использовал доказательство от обратного и начал с предположения, что n = m. Примерная схема рассуждений представлена на рисунке 10.
Получилось, что всегда и строго n> m.
Итак, Гёдель доказал, что абсолютных, сформулированных людьми, истин не существует: ни в математике, ни, тем более, в естественных языках (интуиционисты удовлетворенно кивнули).
Вместе с тем, он ясно показал, что существует некий, возможно, универсальный процесс создания аксиом – как в математике, так и в естественных языках (формалисты