множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.
Пустое множество
Вопросы есть?
На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие, называется логикой первого порядка. Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого»[10]) – и, пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались, ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по основным правилам логики.
Правила логики первого порядка
Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны – что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных подстановок переменных)[11], но что мы пока можем представить просто как комбинаторное свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.
• Пропозициональные тавтологии: A или не A, не (A и не A) и т. п. – истинны.
• Modus ponens (правило отделения): если A истинно и из A следует B истинно, то B истинно.
• Правила равенства: высказывания x = x; из x = y следует y = x; если x = y и y = z, то x = z; и из x = y следует f (x) = f (y) – истинны.
• Замена переменных: при изменении имен переменных высказывание остается истинным.
• Исключение квантора: если для всех x A (x) истинно, то A (y) истинно для любого y.
• Добавление квантора: если истинно A (y), где y – переменная без ограничений, то для всех x, A (x) истинно.
• Правило квантификации: если не (для любого x, A (x)) истинно, то существует такой x, что не (A (x)) истинно.
Приведем в качестве примера аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел, записанные в терминах логики первого порядка. В них S(x) – это функция следования, интуитивно S(x) = x + 1, и я предполагаю, что функции определены заранее.
Аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел
• Нуль существует: существует такое z, что для любого x, S(x) не равно z. (Это z принимается за 0.)
• Каждое целое число имеет не более одного предшественника: для любых x, y если S(x) = S(y), то x = y.
Сами неотрицательные целые числа называют моделью этих аксиом: в логике слово «модель» означает всего лишь любой набор объектов и функций этих объектов, удовлетворяющий условиям аксиом. Интересно, однако, что точно так же, как аксиомам теории групп удовлетворяет множество разных групп, так и неотрицательные целые числа – не единственная модель аксиом Пеано. К примеру, вы можете убедиться, что добавление к этой модели дополнительных искусственных целых чисел, недостижимых от 0, – чисел, лежащих «за бесконечностью»,