Квантовые вычисления со времен Демокрита. Скотт Ааронсон

Рассел, «чтобы взять по одному носку от каждой из бесконечного числа пар носков, требуется аксиома выбора, а для ботинок такой аксиомы не требуется». (Какая разница?)

      Оказывается, аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что любое множество может быть вполне упорядоченным: иными словами, элементы любого множество можно попарно поставить в соответствие порядковым числам 0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, 2ω, 3ω, … вплоть до некоторого порядкового числа. Если подумать, к примеру, о множестве действительных чисел, это представляется далеко не очевидным.

      Несложно убедиться, что полная упорядоченность подразумевает аксиому выбора: достаточно просто вполне упорядочить всю бесконечность носков, а затем выбрать из каждой пары носков тот, что идет первым по порядку.

      Хотите убедиться в обратном? Почему аксиома выбора подразумевает, что любое множество можно полностью упорядочить? Да?

      Хорошо! У нас имеется множество A, которое мы хотим полностью упорядочить. К каждому собственному[12] подмножеству B ⊂ A мы применим аксиому выбора, чтобы выбрать элемент f(B) ∈ A – B (где A – B означает множество всех элементов A, которые не являются также элементами B). Теперь мы можем начать упорядочение A так: пусть s₀ = f({}), далее пусть s₁ = f({s₀}), s2 = f({s₁}) и т. п.

      Может ли этот процесс продолжаться до бесконечности? Нет, не может. Потому что если бы он продолжался до бесконечности, то посредством так называемой «трансфинитной индукции» мы могли бы запихнуть в A произвольно большие бесконечные кардинальные числа. А множество A хотя и бесконечно, но имеет не более чем фиксированный бесконечный размер! Так что процесс этот должен где-то остановиться. Но где? На некотором собственном подмножестве B множества A? Нет, это тоже невозможно, поскольку если бы это было так, то мы просто продолжили бы процесс добавлением f(B). Так что единственное место, где он может остановиться, это само A. Следовательно, A может быть полностью упорядочено.

      Ранее я упоминал некие математические сложности, изначально присущие континууму, и есть у меня одна головоломка, некоторым образом связанная с ними.

      Вы ведь знаете действительную числовую прямую? Пусть нам нужно объединение открытых отрезков, или интервалов (возможно, бесконечного их числа), которое перекрывает все рациональные точки. Вопрос: обязательно ли сумма длин таких интервалов должна быть бесконечной? Казалось бы, это совершенно естественно, это первое, что приходит в голову! В конце концов, рациональные числа у нас всюду!