jak jeden zlepek.
Tymczasem, tak jak było w przypadku odległości do Księżyca, od werdyktu tradycyjnej matematyki włos się jeży na głowie. Zauważ, że gdy zapisać liczby cyfrowo, milion zdaje się leżeć idealnie pośrodku, między tysiącem a miliardem:
Milion ma o trzy zera więcej niż tysiąc i o trzy zera mniej niż miliard. Oko przywiązuje wagę nie do wartości, ale do długości zapisu, wobec czego ochoczo umieszczamy milion w środku. Sama natura naszego systemu liczbowego skłania nas ku myśleniu multiplikatywnemu. Wrażenie wzrokowe byłoby zupełnie inne, gdyby nasze liczby zapisać w systemie rzymskim albo za pomocą ułożonych jeden obok drugiego patyczków. Dodanie zera w naszym systemie jednostek, dziesiątek, setek itd. powoduje pomnożenie danej liczby przez dziesięć, sprawiając, że gubimy się między dodawaniem i mnożeniem.
Toteż jeśli zaszalejemy i przedstawimy liczby na osi w systemie multiplikatywnym, milion znajdzie się dokładnie pośrodku. Zarówno na lewo, jak i na prawo różnica multiplikatywna będzie równa tysiąc.
Dziwne jest to, że owej właściwości wielkich liczb nie widać w wypadku bardziej przystępnych wartości. Gdybym poprosił cię, abyś zlokalizował liczbę 50 na osi od 1 do 100, bez wahania umieściłbyś ją pośrodku.
Trzeba nadmienić, że nawet słowa, których używamy, dowodzą konfliktu między systemem addytywnym a multiplikatywnym. Każda cyfra jedności ma właściwą sobie nazwę: jeden, dwa, trzy… Odstęp pomiędzy każdym słowem jest więc addytywny. Na każdym etapie dodajemy 1.
Do 10 język jest addytywny. Za to po przekroczeniu 9 przechodzimy do świata multiplikatywnego. Nie ma na przykład specyficznych podstaw słowotwórczych na określenie 50 czy 60. Mówimy po prostu „PIĘĆdziesiąt” albo SZEŚĆdziesiąt”, tak jakbyśmy chcieli powiedzieć „pięć dziesiątek” czy „sześć dziesiątek”. Od tysiąca zaś nowe nazwy pojawiają się w rytmie multiplikatywnym razy tysiąc: tysiąc, milion, miliard, bilion, biliard… a każde oznacza liczbę tysiąc razy większą od poprzedzającej.
Gdybyśmy umieścili te liczby na klasycznej osi addytywnej, wszystkie kłębiłyby się przy zerze i wyglądały na mikroskopijne w porównaniu z ostatnią. Miliard jest maluteńki przy bilionie, który z kolei jest śmiesznie mały przy biliardzie itd.
Ten przeskok w nazewnictwie dotyczącym liczb jest prawie niezauważalny, gdy uczymy się liczb w szkole. A mimo to odciska piętno na naszym sposobie myślenia. Nasze postrzeganie ilości nie jest ani wrodzone, ani obiektywne. Jest silnie związane ze sposobem, w jaki przyswajaliśmy matematykę.
Czy jest więc możliwe, aby na moment zapomnieć o nabytej wiedzy i kulturowych przeszkadzajkach, by cofnąć się do naszej pierwotnej percepcji liczb? Jak byśmy rozumowali, gdyby od dziecka nie wpajano nam gotowych konstrukcji numerycznych?
Żeby się tego dowiedzieć, warto by było zagadnąć osoby, którym oszczędzono takiej edukacji. Moglibyśmy zapytać o to dzieci, które z racji młodego wieku nie mają jeszcze zbyt dużej wiedzy o liczbach. Moglibyśmy także poprosić o opinię odizolowane od świata społeczności, których stosunek do liczb jest na tyle odmienny od naszego, że zachowuje niezależność od naszych uwarunkowań i apriorycznych sądów.
W tym celu w pierwszej dekadzie XXI wieku różne ekipy badawcze przeprowadziły niezależnie od siebie kilka eksperymentów. Testom analogicznym do naszego doświadczenia z milionem poddano między innymi małe dzieci w Stanach Zjednoczonych, a także niektórych członków plemienia Munduruku, żyjącego w amazońskiej dżungli na północy Brazylii. Język tych ostatnich nie posiada słów na określenie liczb powyżej pięciu, co sprawia, że ich postrzeganie ilości całkowicie różni się od naszego.
Uczestników doświadczeń umieszczano naprzeciw osi, której oba końce odpowiadały dwóm liczbom. Za każdym razem proszono ich, aby na osi umieścili inne liczby. Oczywiście liczby musiały być przedstawione w sposób zrozumiały dla kogoś, kto nigdy nie uczył się matematyki. Wypróbowano kilka metod, na przykład wizualną, z obrazkami przedstawiającymi kropki, albo dźwiękową, z serią bipnięć. Test przeprowadzano po upewnieniu się, że badani rozumieją zasady gry.
Wyniki były zgodne i nie pozostawiały cienia wątpliwości: u dzieci i Indian Munduruku liczby są intuicyjnie postrzegane bardziej multiplikatywnie niż addytywnie. Oto jak Munduruku umieszczają na osi liczby od 1 do 10:
Oczywiście daleko temu do doskonałości. Test rozwiązuje się w dużej mierze instynktownie i niełatwo na oko oszacować liczbę kropek. Po uśrednieniu wyników testu okazuje się, że 5 zostało umieszczone nieco za 6! Ale ta pomyłka jest nieistotna. Warto natomiast zwrócić uwagę, jak szeroko rozciągają się na początku małe liczby, podczas gdy większe są stłoczone na końcu. Tak jakby małe liczby, takie jak 1 lub 2, liczyły się bardziej niż duże liczby, takie jak 8 i 9. Małe się rozsiadają, a duże muszą się ściskać.
Czy widzisz tu jakąś analogię z prawem Benforda? Czy to zwykły zbieg okoliczności, czy może jesteśmy o krok od zrozumienia czegoś istotnego? Jak na razie związek między tym schematem a wspomnianym prawem nie wydaje się oczywisty, zachowaj jednak to spostrzeżenie na później, niedługo wrócimy do tej kwestii.
Wspomniana tendencja znajduje potwierdzenie we wszystkich wariantach testu. Tych z większymi liczbami, sięgającymi 100, a także tych, którym poddano dzieci. Na przykład często zdarzało się, że dziecko, któremu polecono umieszczenie liczby 10 na osi od 1 do 100, wskazywało mniej więcej na środek linii. Taki wynik daje do myślenia, jeżeli wziąć pod uwagę, że w ujęciu multiplikatywnym 10 faktycznie znajduje się w połowie drogi między 1 a 100.
A gdybyśmy poszli jeszcze dalej?
Wiele doświadczeń przeprowadzonych w XX wieku wykazało, że ten sposób percepcji liczb nie przysługuje ludzkości na wyłączność. Cechują się nim mózgi gatunków innych niż Homo sapiens.
Sporo zwierząt ma naturalny zmysł ilości. Choćby po to, by móc oszacować wielkość zapasów czy liczebność zagrażających zwierzętom drapieżników. Zmysł ten, w porównaniu z tym, którym mogą się szczycić ludzie, pozostaje niedokładny i ograniczony, ale bynajmniej nie jest z tego powodu mniej zaskakujący.
W przypadku zwierząt sposób zaplanowania doświadczeń, jak i interpretacja otrzymanych rezultatów wymagają znacznej subtelności i ostrożnej analizy. Nie da się bezpośrednio porozumieć z końmi, ptakami czy szympansami, wyjaśnić im w szczegółach, na czym będzie polegało doświadczenie, ani sprawić, by zrozumiały cel wykonywanych czynności. A jednak fakty są uderzające i zdają się dowodzić, że niektóre zwierzęta także postrzegają liczby multiplikatywnie.
Oto przykład doświadczenia, które przeprowadzono z udziałem szczurów. Badacze umieścili kilka osobników w klatkach wyposażonych w dwie dźwignie. Następnie regularnie odtwarzali zwierzętom serie sygnałów dźwiękowych, obejmujących albo dwa, albo osiem odgłosów. Gdy rozlegały się dwa sygnały, szczury dostawały pożywienie, o ile nacisnęły pierwszą dźwignię. Gdy rozbrzmiewało osiem dźwięków, wówczas to druga dźwignia gwarantowała zdobycie pokarmu. Po pewnym okresie nauki gryzonie przyswoiły sobie przyjętą przez naukowców zasadę i naciskały odpowiednią dźwignię w zależności od liczby sygnałów.
Kiedy szczury nauczyły się już obsługi dźwigni, można było rozpocząć właściwe doświadczenie. Co się dzieje, gdy wytrenowane gryzonie słyszą liczbę dźwięków inną niż dwa albo osiem? Przy trzech sygnałach, po bardzo krótkim wahaniu szczury idą do pierwszej dźwigni, tak jak w przypadku dwóch dźwięków. Przy pięciu, sześciu lub siedmiu