konkluzji: z multiplikatywnego punktu widzenia 4 leży dokładnie pośrodku między 2 i 8. Gdyby szczury myślały addytywnie, to 5 powinno wzbudzać ich wątpliwości. A jednak z równowagi wytrąca je 4.
Identyczne doświadczenia zostały przeprowadzone przy użyciu innych liczb niż 2 i 8 oraz z udziałem innych zwierząt niż szczury. Fakt, trudno domyślać się, co dokładnie dzieje się w głowach tych małych stworzeń, a wyniki badań nie przynoszą jednoznacznych odpowiedzi. Pewne jest jednak, że za każdym razem wahanie pojawia się raczej w okolicach środka multiplikatywnego niż addytywnego.
Bez względu na to, jak daleko zapuszczamy się w głąb mózgu ku źródłom naszego pojmowania liczb, nieodwołalnie dochodzimy do tej samej prawdy: nasz pierwotny zmysł ilości wydaje się fundamentalnie i naturalnie multiplikatywny.
A przecież jest jasne, że żaden mózg człowieczy czy zwierzęcy bez odpowiedniego przygotowania nie potrafi przeprowadzić dokładnych obliczeń, pozwalających mu udzielić odpowiedzi na tego rodzaju pytania. Myślenie multiplikatywne nie jest ani świadome, ani precyzyjne. Jego wyniki są spontaniczne i intuicyjne, trochę jak wtedy, gdy w pierwszym odruchu umieściłeś milion w połowie drogi między tysiącem a miliardem. Nie dowodzą one żadnej wiedzy matematycznej, są tylko świadectwem istnienia najwyraźniej wrodzonego mechanizmu myślowego, w który wszyscy zostajemy wyposażeni na wczesnym etapie rozwoju i który generuje pierwsze, w przybliżeniu multiplikatywne intuicje dotyczące liczb.
Podobne testy, przeprowadzone na dorosłych Amerykanach, pozwoliły jasno stwierdzić, że intuicja multiplikatywna zanika w miarę nabywania wiedzy szkolnej i matematycznej. W odniesieniu do liczb od 1 do 10 dorośli ściśle przestrzegają skali addytywnej. Jednak instynkt multiplikatywny nie obumiera całkowicie, stopniowo daje o sobie znać przy okazji wielkich liczb, z którymi jesteśmy mniej oswojeni.
Liczenie addytywne nie jest więc tak instynktowne, jak mogłoby się wydawać. W końcu jest to tylko nawyk, jaki wyrabia się w nas w dzieciństwie. W swoim artykule z 1938 roku Frank Benford pisze: „Jesteśmy tak bardzo przyzwyczajeni do numerowania rzeczy 1, 2, 3, 4… i do twierdzenia, że są one ułożone według naturalnego porządku, iż niełatwo nam zaakceptować pomysł, by to ciąg 1, 2, 4, 8… był naturalnym porządkiem”.
Być może tobie również trudno jeszcze przyjąć to do wiadomości. Niełatwo jest zapomnieć o skali addytywnej, skoro przez tyle lat kształtowała umysł. Jeżeli znajdujesz się w grupie osób, którym sprawia to kłopot, nie przejmuj się, przeczytaj jeszcze kilka stron, wrzuć na luz i daj się ponieść. Przekonasz się, że odkrywanie, a raczej powracanie do nowego sposobu myślenia, jest niesamowicie ekscytujące.
Rodzi się jednak pewne pytanie: skoro nasza intuicja jest multiplikatywna i skoro jest ona bardziej dostosowana do oglądu otaczającego nas świata, dlaczego tak usilnie staramy się ją usunąć z naszego sposobu rozumowania? Po co na siłę wtłaczać tam mniej zgodny z rzeczywistością system addytywny? Czy nie jest tak, że szkolna matematyka stłumiła w nas poprawne myślenie zdroworozsądkowe, by zastąpić je sztucznym i nieadekwatnym?
Czy mamy zrezygnować z dodawania?
Odpowiedź brzmi: nie. Myślenie addytywne samo w sobie nie jest bezużyteczne. W wielu sytuacjach jest nawet szalenie przydatne. Następnym razem, gdy przyjdzie ci płacić za zakupy w kasie supermarketu, przypuszczalnie ucieszysz się, że kwota na paragonie nie będzie efektem mnożenia. Prawdopodobnie zresztą nie muszę cię przekonywać, że mimo wszystkiego, o czym tu była mowa, dodawanie i odejmowanie pozostają – a jakże – integralną częścią naszej codzienności. W mniejszym stopniu, niż ci się wydawało, ale jednak.
Co więcej, nawet mnożenie nie może się obejść bez dodawania. Bo choć nasza intuicja jest zasadniczo multiplikatywna, nie oznacza to, że matematykę multiplikatywną łatwiej zrozumieć. Bez nauki matematyki nie da się rozwinąć owej pierwotnej myśli tak, by mogła ukazać cały swój potencjał. Dlatego aby zgłębić pojęcie mnożenia, koniecznie należy dobrze opanować pojęcie dodawania.
No dobrze, ale koniec końców, jaki jest najlepszy sposób porównania dwóch liczb?
Nie ma absolutnej i definitywnej odpowiedzi na to pytanie. O wszystkim decyduje kontekst. A czasem wybór bywa trudny. Zdarzają się sytuacje niejednoznaczne i pośrednie, uniemożliwiające dokonanie najlepszego wyboru. Dodawanie i mnożenie są po prostu dwoma – różnymi, ale uzupełniającymi się – sposobami postrzegania liczb.
Takie stwierdzenie można by uznać za porażkę. Czyż matematyka nie powinna dawać precyzyjnych i ostatecznych odpowiedzi? Jak to możliwe, by nauka ścisła pozwalała sobie na „to zależy”? Za tym pozornym paradoksem kryje się kreatywna dwuznaczność matematyki. Jest ona usiana owymi „to zależy” po horyzont. Właśnie one czynią z niej cudowną przestrzeń wolności i innowacyjności. Matematyka niejedno ma imię, jest wielobarwna, relatywna. I bardzo dobrze.
Zaakceptowanie oraz umiejętne posługiwanie się tą względnością jest niewyczerpanym źródłem radosnych odkryć i kreatywności. Matematyka oferuje tysiące różnych narzędzi do analizy tego samego problemu. Owe narzędzia są jak klawisze pianina. Ich poznanie to solfeż, granie na nich to sztuka. Pytanie, czy lepiej porównywać dwie liczby za pomocą dodawania czy mnożenia, to jak zastanawianie się, czy lepiej komponować w G-dur czy w a-moll. Wybór należy do ciebie. Być może nie zawsze będzie najtrafniejszy, ale to nieistotne.
Możesz lubić grę na pianinie, nie będąc Mozartem. Możesz lubić grę w matematykę, nie będąc Einsteinem. Nie bój się. Im więcej będziesz grał, tym większą osiągniesz maestrię. I tym bardziej czarująca dla ciebie będzie muzyka liczb.
Skrybowie bez zera i przecinków
I oto doszliśmy do takiego etapu naszego dochodzenia, gdy trzeba pogrzebać w przeszłości podejrzanych. Aby pojąć, na czym polega uzupełniające się współzawodnictwo między dodawaniem i mnożeniem, musimy cofnąć się do początków matematyki. Skąd się wzięły te działania? Jaka jest ich geneza i jak stały się tym, czym są dzisiaj?
Zamknij na chwilę oczy, weź głęboki oddech i lećmy. Obieramy kurs na Środkowy Wschód, ku obszarom obecnego Iraku. Tam zanurzymy się w zagmatwaną, odległą przeszłość, która skrzętnie skrywa kilka intrygujących sekretów dotyczących liczb i działań matematycznych.
Właśnie cofnęliśmy się o cztery tysiące lat. Jesteśmy na urodzajnych równinach Babilonii, jednej z pierwszych cywilizacji w epoce jej szczytowego rozkwitu. Już od kilku stuleci brzegi Tygrysu i Eufratu pysznią się pięknymi i bogatymi miastami, o murach mieniących się rdzawą czerwienią od gliny, z której są zbudowane. Największe spośród nich liczą dziesiątki tysięcy mieszkańców. Mówi się głównie po akadyjsku, lecz słychać także inne języki. Pismo istnieje już od ponad tysiąca lat, zapewniając międzypokoleniowy przekaz wiedzy i postęp. Funkcjonuje rozbudowany aparat urzędniczy. Dynamicznie rozwija się handel.
To tutaj, w sercu tych starożytnych miast, pojawiły się pierwsze szkoły skrybów, kuźnie awangardowej wiedzy. Zanim się to stało, większość umiejętności nabywano w miejscu pracy, przysposabiając się do zawodu. Rodzice przekazywali je dzieciom, mistrzowie kupiectwa czeladnikom, a rzemieślnicy jednego cechu wymieniali się po prostu tajnikami swojej profesji między sobą. Owszem, szkoły zaczęły powstawać już kilka wieków wcześniej, nie odgrywały jednak zbyt dużej roli i były słabo zorganizowane. Pod koniec III tysiąclecia p.n.e. formalnie kształtuje się system szkolnictwa, a edubby, czyli „domy tabliczek”, mnożą się we wszystkich większych miastach regionu.
Do jednej z takich edubb właśnie się udajemy.
Oto stoimy na brzegu Eufratu, u bram miasta Nippur, zajmującego obszar nieco ponad 1 km2. W jego sercu wznosi się E-kur, „Dom-Góra”, który górując nad miastem, oczarowuje przyjezdnych. Obchodząc go od zachodu, mijamy świątynię Isztar, bogini miłości i wojny. Wzdłuż jej ścian ciągnie się