Wydaje się więc niemożliwe, by objąć tą metodą wszystkie wyobrażalne i niewyobrażalne operacje mnożenia.
A i owszem! Oto bowiem moment, gdy z mroku dziejów, prosto w światła reflektorów wychodzi niezmiennik mezopotamskich skrybów. Aby móc przeprowadzić wszystkie mnożenia, nie trzeba mieć koniecznie logarytmów wszystkich liczb. Wystarczy znać na przykład logarytmy wszystkich liczb od 1 do 1000, a następnie robić obliczenia, zapominając o zerach i przecinkach.
Wyobraź sobie, że musisz pomnożyć 1,28 przez 2500. Po usunięciu zer i przecinka obie te liczby zmieszczą się w przedziale obejmowanym przez naszą tablicę. Będą to 128 i 25. Teraz skorzystaj z tablicy logarytmicznej i poznasz wynik mnożenia: 32 (wciąż bez zer i przecinka). Pozostaje ci już tylko oszacować rząd wielkości, aby umieścić przecinek i zera w odpowiednich miejscach, i gotowe: 1,28 × 2500 = 3200. Przy odrobinie wprawy technika ta pozwoli ci szybko przeprowadzić dowolne mnożenie.
W epoce komputerów i elektronicznych kalkulatorów trudno jest zrozumieć, jak wielki wpływ wywarły logarytmy na epokę Napiera. Dla nas most łączący dodawanie z mnożeniem może uchodzić ledwie za ciekawostkę. Za pewien sposób postrzegania, owszem, zabawny czy wręcz pouczający, jednak bez większego znaczenia. Tymczasem wynalezione przez Napiera logarytmy błyskawicznie rozpowszechniły się wśród uczonych z całego świata, stając się jednym z podstawowych narzędzi badaczy wszelkich specjalizacji. Znalazły także zastosowanie poza światem naukowym, w zawodach wymagających wielu obliczeń, na przykład u architektów, księgowych czy urzędników. Aż do drugiej połowy XX wieku większość uczniów była zobowiązana nosić w tornistrze własny egzemplarz tablic logarytmicznych.
Po Napierze coraz bardziej dokładne i kompletne tablice tworzyli i publikowali kolejni matematycy. Tablice logarytmiczne wydane pod koniec XIX wieku przez Camille’a Bouvarta i Alfreda Ratineta doczekały się ponad siedemdziesięciu wznowień i w niecałe sto lat stały się jednym z bestsellerów matematycznego księgozbioru!
Aby zrozumieć istotę tego sukcesu, należy zdać sobie sprawę, z jaką masą obliczeń musieli mierzyć się ówcześni uczeni. I nie mówię tutaj o skomplikowanych działaniach, nad którymi trzeba się długo namyślać i które wymagają odrobiny kreatywności i wysiłku. Nie, mówię wyłącznie o prostych, mozolnych obliczeniach. Nieekscytujących, o których od początku wiemy, że potrafimy je wykonać, a które mimo wszystko zabiorą nam szmat czasu. Wszyscy matematycy umieją pomnożyć 2,35847 przez 78,3564. Nie jest to nic trudnego, ale wymaga cierpliwości. A jeżeli jesteś astronomem, całkiem możliwe, że będziesz musiał wykonać kolejno kilkadziesiąt, może nawet kilkaset podobnych mnożeń, aby otrzymać pożądany wynik.
Dzisiaj takie obliczenia przeprowadzają komputery. W czasach Napiera wszystko trzeba było robić ręcznie! Korzystając z papieru i pióra, czasem z pomocą liczydła lub abakusa. Tylko pomyśl, jak wielką oszczędność czasu dały ówczesnym ludziom tablice logarytmiczne. Nagle można było skrócić cały dzień uciążliwych obliczeń do zaledwie dwóch lub trzech godzin pracy! Pod koniec XVIII wieku Pierre-Simon de Laplace, który był jednym z największych matematyków swojej epoki, oświadczył, że logarytmy w pewnym sensie dwukrotnie wydłużyły astronomom życie, oszczędzając im błędów i zniechęcenia, związanych z niekończącymi się obliczeniami.
U schyłku XX wieku pierwotna użyteczność logarytmów ostatecznie zanikła. Pojawiły się urządzenia elektroniczne i dziś już nikt nie korzysta z tablic Napiera do przeprowadzania długich obliczeń. Jednak logarytmy, niczym Feniks z popiołów, odrodziły się, by znaleźć zastosowanie w innych dziedzinach. Problemem przestały być możliwości techniczne, pozostaje nim natomiast kwestia zrozumienia. Jak już się przekonaliśmy, nasza rzeczywistość jest w głównej mierze zorganizowana multiplikatywnie i nauka wciąż często musi przechodzić ze świata mnożenia do świata dodawania. Za każdym razem, gdy pojawia się taka potrzeba, przechodzi więc starym, przerzuconym przez Napiera mostem, na którym ruch od czterech wieków nic a nic nie zelżał.
Uporządkowanie niektórych zjawisk według skali logarytmicznej nierzadko bywa bardzo pomocne. Dobrym przykładem jest skala Richtera, która mierzy intensywność trzęsień ziemi. Przesunięcie się na skali o jeden stopień w rzeczywistości odpowiada dziesięciokrotnemu wzrostowi natężenia wstrząsu. Wstrząs o sile 7 stopni będzie dziesięć razy większy niż wstrząs o sile 6 stopni. Najpotężniejsze odnotowane trzęsienie ziemi w dziejach nastąpiło 22 maja 1960 roku w Valdivii w Chile. Miało ono siłę 9,5 stopnia, było więc milion razy potężniejsze niż zwykłe, niemal nieodczuwane przez ludzi wstrząsy o sile 3,5 stopnia.
Wykorzystanie skali logarytmicznej pozwala o wiele lepiej zobrazować interwały między poszczególnymi wstrząsami. Gdyby te same wstrząsy nanieść na oś addytywną, stopnie od 1 do 7 byłyby ściśnięte w jednym punkcie, a ich odczytanie nastręczałoby trudności.
Na długiej liście zjawisk fizycznych, które mierzymy według skali logarytmicznej, znajdują się tak różne kategorie jak natężenie dźwięku w decybelach, kwasowość roztworu w pH czy jasność gwiazd na niebie.
Innym powszechnie znanym przypadkiem są gamy w muzyce. Nuta określa częstotliwość drgań powietrza, w którym rozchodzi się dźwięk. Częstotliwości kolejnych dźwięków A zagranych na pianinie to, odpowiednio, 55, 110, 220, 440, 880, 1760 i 3520 wibracji na sekundę. Zauważ, że spośród dwóch dźwięków oddzielonych od siebie oktawą, wyższy wibruje dwa razy szybciej. Multiplikatywny rozkład dźwięków łatwo uzmysłowić sobie, jeśli spojrzy się na progi skalujące gryf gitary. Nie są one rozstawione w równych odstępach, ale na zasadzie progresji multiplikatywnej, rozsuwając się w miarę skracania odległości od główki.
Jeżeli chcesz zagrać dwa skrajne dźwięki tej samej oktawy na jednej strunie, niższy wydobędziesz, przyciskając strunę dwa razy dalej od mostka niż w wypadku wyższego dźwięku. Na przykład na piątej strunie dźwięk „A 110 drgań” znajduje się w odległości 64 cm od mostka, podczas gdy „A 220” w odległości 32 cm, o połowę bliżej. Aby na tej samej strunie zagrać „A 440”, strunę należałoby przycisnąć 16 cm od mostka, a dla „A 880” – 8 cm. Przynajmniej w teorii, ponieważ w praktyce byłoby to skomplikowane – zazwyczaj owe dwa dźwięki gra się na innej strunie.
Można przypuszczać, że sam John Napier, mimo niezwykle twórczego umysłu, publikując wyniki swoich prac, nie przewidywał, że jego cudowne logarytmy znajdą tak powszechne zastosowanie.
Dodajmy, abstrahując od tych przykładów, że wraz z pojawieniem się logarytmów dostaliśmy do rąk ostatnią część matematycznej układanki, niezbędną, by zrozumieć prawo Benforda. Teraz należało tylko czekać, aby jakiś błyskotliwy umysł poskładał ową układankę w całość. Ostatni akt naszego dochodzenia rozegra się w Stanach Zjednoczonych.
Dlaczego świat jest multiplikatywny?
Jeżeli masz stary komputer, zniszczony latami intensywnej eksploatacji, być może zauważyłeś, że jego klawisze są zużyte nierównomiernie. Klawisz A oraz spacja generalnie starzeją się szybciej niż $ czy V, które po wielu latach wciąż mogą wyglądać na nówki.
Nic dziwnego. Te klawisze i odpowiadające im znaki są najczęściej używanymi w języku polskim. W przeciętnym, niestylizowanym tekście A stanowi 8,91 % ogółu liter, czyli występuje około 445,5 razy częściej niż litera X, której udział wynosi 0,02 %[5]. W internecie istnieją strony umożliwiające zakup klawiszy komputerowych na sztuki. Nie będzie niespodzianką, jeśli zdradzę, że w czołówce sprzedaży znajduje się A, a na podium stoją ponadto I oraz O.
Ze zjawiskiem nierównomiernego zużycia można się zetknąć w różnych dziedzinach.