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von der Höhe h ab, wobei p0 der Druck in Höhe des Meeresspiegels ist. Die Konstante H ist ungefähr gleich 8 km (genauer gesagt H = RT/Mg, wobei wir mit M die mittlere Molmasse der Luft und mit T die Temperatur bezeichnen). Diese Beziehung resultiert aus dem Wettstreit zwischen der potenziellen Energie der Moleküle im Schwerefeld der Erde und der mischenden Wirkung der thermischen Bewegung. Die barometrische Höhenformel stellt eine Beziehung zwischen dem Druck p eines Gases der mit der Molmasse M in der Höhe h und dem Druck p0 auf Meereshöhe her. Leiten Sie diese Beziehung her, indem Sie zeigen, dass die Druckänderung dp für eine infinitesimale Höhendifferenz dh (die Dichte ist dort gleich ρ) durch dp = −ρg dh gegeben ist. Beachten Sie, dass die Dichte vom Druck abhängt. Wie groß ist
1 (a) die Druckdifferenz zwischen Boden und Deckel eines Laborgefäßes mit einer Höhe von 15 cm,
2 (b) der äußere Atmosphärendruck in der typischen Reisehöhe eines Flugzeugs (11 km), wenn der Druck in Bodennähe 1, 0 atm beträgt?
S1.1.12‡ Mit Fesselballonswerden Sonden in die Atmosphäre aufgelassen, die meteorologische Phänomene erkunden und die Zusammensetzung der Lufthülle messen. Wir wollen mithilfe der Zustandsgleichung des idealen Gases einige technische Details des Ballonflugs näher untersuchen. Unser Ballon sei kugelförmig mit einem Radius von 3, 0 m.
1 (a) Welche Stoffmenge H2 (in Mol) ist erforderlich, um den Ballon auf Meereshöhe bei 25 °C auf einen Innendruck von 1, 0 atm aufzupumpen?
2 (b) Welche Masse kann dieser Ballon in Höhe des Meeresspiegels anheben? Die Dichte der Luft beträgt 1, 22 kgm−3.
3 (c) Welche Nutzlast erhält man, wenn man den Ballon mit Helium statt mit Wasserstoff füllt?
S1.1.13‡ Chlorfluorkohlenwasserstoffe wie CCl3F und CCl2F2 werden zu den Verursachern des Ozonlochs über dem Südpolargebiet gezählt. 1994 wurde für den Volumengehalt der Atmosphäre an diesen Gasen 261 bzw. 509 ppt (parts per trillion, billionstel Teile) gemessen (World Resources Institute, World Resources 1996–1997). Berechnen Sie die molaren Konzentrationen beider Gase unter Bedingungen, die typisch sind
1 (a) für die Troposphäre in mittleren Breitengraden (10 °C, 1, 0 atm) und
2 (b) für die Stratosphäre über dem Südpol (200 K, 0, 050 atm).
S1.1.14 Die Atmosphäre besteht zu etwa 80 Massen-% aus Stickstoff und 20 Massen-% aus Sauerstoff. In welcher Höhe über der Erdoberfläche würden sich die Anteile auf 90% Stickstoff und 10% Sauerstoff verschieben? Nehmen Sie an, dass die Temperatur konstant bei 25 °C liegt. Wie groß ist der Atmosphärendruck in dieser Höhe?
Abschnitt 1.2 – Die kinetische Gastheorie
Diskussionsfragen
D1.2.1 Nennen Sie die Näherungen, die der kinetischen Gastheorie zugrunde liegen, und analysieren Sie diese kritisch.
D1.2.2 Interpretieren Sie die Abhängigkeit dermittleren freien Weglänge von der Temperatur und dem Druck des Gases sowie von der Größe der Gasmoleküle.
D1.2.3 Erklären Sie mithilfe der kinetischen Gastheorie, warum der Anteil leichter Gase, wie H2 und He, in der Erdatmosphäre gering ist im Vergleich zu schwereren Gasen wie O2, CO2 und N2.
Leichte Aufgaben
L1.2.1a Bestimmen Sie das Verhältnis
1 (i) der mittleren Geschwindigkeiten,
2 (ii) der mittleren kinetischen Translationsenergien von H2-Molekülen und Hg-Atomen bei 20 °C.
L1.2.1b Bestimmen Sie das Verhältnis
1 (i) der mittleren Geschwindigkeiten,
2 (ii) der mittleren kinetischen Translationsenergie von He-Atomen und Hg-Atomen bei 25 °C.
L1.2.2a Berechnen Sie die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von H2O- und O2-Molekülen bei 20 °C.
L1.2.2b Berechnen Sie die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von CO2-Molekülen und He-Atomen bei 20 °C.
L1.2.3a Berechnen Sie mithilfe der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung den Ateil der N2-Moleküle, die bei 400K eine Geschwindigkeit zwischen 200 und 210ms−1 haben. Hinweis: Der Anteil der Moleküle mit Geschwindigkeiten im Bereich von υ bis υ+dυ ergibt sich aus ƒ(υ)dυ, wobei ƒ(υ) gegeben ist durch Gl. (1.12).
L1.2.3b Berechnen Sie mithilfe der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung den Anteil der CO2-Moleküle, die bei 400K eine Geschwindigkeit zwischen 400 und 405ms−1 haben. Beachten Sie den Hinweis aus Teilaufgabe (a).
L1.2.4a Berechnen Sie das Verhältnis der mittleren Relativgeschwindigkeiten von N2- und H2-Molekülen in einem Gas bei 20°C.
L1.2.4b Berechnen Sie das Verhältnis der mittleren Relativgeschwindigkeiten von O2- und N2-Molekülen in einem Gas bei 20 °C.
L1.2.5a Berechnen Sie (i) diewahrscheinlichste Geschwindigkeit, (ii) die mittlere Geschwindigkeit und (iii) diemittlere Relativgeschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C.
L1.2.5b Berechnen Sie (i) die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, (ii) die mittlere Geschwindigkeit und (iii) die mittlere Relativgeschwindigkeit von H2- Molekülen bei 20 °C.
L1.2.6a Ermitteln Sie die Stoßzahl von H2-Molekülen in der Gasphase bei 1, 00 atm und 25 °C.
L1.2.6b Ermitteln Sie die Stoßzahl von O2-Molekülen in der Gasphase bei 1, 00 atm und 25 °C.
L1.2.7a Nehmen Sie an, dass Luft ausschließlich aus N2-Molekülen mit einem Stoßdurchmesser von 395pm besteht. Berechnen Sie (i) die mittlere Geschwindigkeit, (ii) die mittlere freie Weglänge und (iii) die Stoßzahl der Moleküle bei 1, 0 atm und 25 °C.
L1.2.7b Mit einer sehr guten Vakuumpumpe kann man im Labor einen Druck von minimal 10−9 Torr erzeugen. Gegeben seien eine Temperatur von 25 °C und eine Stickstoffatmosphäremit einem Stoßdurchmesser der N2-Moleküle von 395 pm. Wie groß sind
1 (i) die mittlere Geschwindigkeit,
2 (ii) die mittlere freie Weglänge,
3 (iii) die Stoßzahl der Moleküle in dem Gas?
L1.2.8a Bei welchem Druck ist die mittlere freie Weglänge von Argon bei 20 °C vergleichbar mit dem Durchmesser eines 100 cm3-Kolbens? Verwenden Sie für den Stoßquerschnittσ = 0, 36nm2.
L1.2.8b Bei welchem Druck ist die mittlere freie Weglänge von Argon bei 20 °C vergleichbar mit dem Durchmesser der Atome selbst? Verwenden Sie für den Stoßquerschnitt σ = 0, 36nm2.
L1.2.9a In einer Höhe von 20km beträgt die Temperatur 217K und der Druck 0, 05 atm. Wie groß ist die mittlere freie Weglänge von Stickstoffmoleküle (σ = 0, 43nm2)?
L1.2.9b In einer Höhe von 15km beträgt die Temperatur 217K und der Druck 12, 1 k Pa. Wie groß ist die mittlere freie Weglänge von Stickstoffmoleküle (σ = 0, 43nm2)?
Schwerere Aufgaben
S1.2.1