J. Michael Fried

Mathematik für Ingenieure II für Dummies

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equals x 1 cubed x 2 plus x 2"/> der beiden Variablen x 1 und x 2 erhalten Sie nach dem letzten Abschnitt für die ersten partiellen Ableitungen

f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals 3 x 1 squared x 2 und f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals x 1 cubed plus 1 period

      Die beiden partiellen Ableitungen f Subscript x 1 und f Subscript x 2 sind ebenfalls partiell differenzierbare reellwertige Funktionen der beiden Variablen x 1 und x 2. Die zweiten partiellen Ableitungen erhalten Sie als die partiellen Ableitungen von f Subscript x 1 und f Subscript x 2:

f Subscript x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 1 x 2 und f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 3 x 1 squared

      und

f Subscript x 2 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 3 x 1 squared comma f Subscript x 2 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 0 period

      Für die dritten partiellen Ableitungen müssen Sie diese zweiten partiellen Ableitungen jeweils wieder nach den einzelnen Variablen partiell differenzieren. Sie erhalten zum Beispiel

f Subscript x 1 x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 2 comma f Subscript x 1 x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 1 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 6 x 1

      und

f Subscript x 2 x 1 x 1 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 1 Baseline equals 6 x 1 comma f Subscript x 2 x 1 x 2 Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis f Subscript x 2 x 1 Baseline right-parenthesis Subscript x 2 Baseline equals 0

      und so weiter.

      Bei diesem Beispiel sieht es so aus, als wäre es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die partiellen Ableitungen nach den verschiedenen Variablen gebildet werden. Im Fall der partiellen Ableitungen 2. Ordnung gilt also

StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis equals StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis

      für alle i und k. Dass dies nicht immer richtig ist, zeigt der nächste Abschnitt.

      Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer!

f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column x 1 x 2 StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis not-equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis 2nd Row 1st Column 0 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis EndLayout

      Kritisch ist dabei die Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis. Aus f left-parenthesis x 1 comma 0 right-parenthesis equals f left-parenthesis 0 comma x 2 right-parenthesis equals 0 folgt direkt, dass die ersten partiellen Ableitungen f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals 0 an dieser Stelle verschwinden.

      Für left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis not-equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis gilt nach den Ableitungsregeln für gewöhnliche Ableitungen:

StartLayout 1st Row 1st Column f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column x 2 left-parenthesis StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction plus StartFraction 4 x 1 squared x 2 squared Over left-parenthesis x 1 squared plus x 2 squared right-parenthesis squared EndFraction right-parenthesis 2nd Row 1st Column f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column x 1 left-parenthesis StartFraction x 1 squared minus x 2 squared Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction minus StartFraction 4 x 1 squared x 2 squared Over left-parenthesis x 1 squared plus x 2 squared right-parenthesis squared EndFraction right-parenthesis 3rd Row 1st Column Blank 2nd Column Blank 3rd Column Blank EndLayout

      Berechnen Sie zum Beispiel die partielle Ableitung f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis als partielle Ableitung von f Subscript x 1 nach x 2 an der Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis, dann erhalten Sie nach der Grenzwertdefinition der Ableitung

f Subscript x 1 x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartFraction f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma t right-parenthesis minus f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis Over t EndFraction equals limit Underscript t right-arrow 0 Endscripts StartStartFraction t left-parenthesis minus StartFraction t squared Over t squared EndFraction right-parenthesis OverOver t EndEndFraction equals negative 1 period

      Umgekehrt ist f Subscript x 2 x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis die partielle Ableitung von

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