J. Michael Fried

Mathematik für Ingenieure II für Dummies

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alt="f"/> also konstant. Sie erhalten damit eine nützliche und anschauliche Beziehung zwischen dem Gradienten einer Funktion und ihren Höhenlinien.

      

Der Gradient nabla f einer differenzierbaren Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R steht senkrecht auf den Höhenlinien von f.

      Ein Beispiel: Die Funktion

f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals x 1 squared plus x 2 squared

      hat als Höhenlinien f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals c konzentrische Kreise mit Radius

StartRoot c EndRoot equals StartAbsoluteValue StartAbsoluteValue StartBinomialOrMatrix x 1 Choose x 2 EndBinomialOrMatrix EndAbsoluteValue EndAbsoluteValue period nabla f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals 2 StartBinomialOrMatrix x 1 Choose x 2 EndBinomialOrMatrix

      gegeben. An jeder Stelle x element-of double-struck upper R squared steht der Vektor nabla f left-parenthesis x right-parenthesis senkrecht auf dem Kreis mit Radius StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue x StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue.

      Bei den reellwertigen Funktionen f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R einer einzigen Variablen kennen Sie wahrscheinlich nicht nur einfache, sondern auch mehrfache Ableitungen: Die Ableitung einer solchen Funktion f ist ihrerseits wieder eine reellwertige Funktion f prime von einer Variablen, die Sie selbstverständlich auch auf Differenzierbarkeit untersuchen können. Falls die Ableitung left-parenthesis f prime right-parenthesis prime der Ableitungsfunktion existiert, erhalten Sie damit die zweite Ableitung f double-prime von f.

      So ähnlich können Sie auch höhere Ableitungen einer Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript m über die Ableitungen ihrer Ableitungen definieren.

      In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung

      Partielle Ableitungen höherer Ordnung erhalten Sie als die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen, sofern diese existieren.

      

Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R von n Variablen heißen die partiellen Ableitungen StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals f Subscript x Sub Subscript i Partielle Ableitungen 1. Ordnung von f.

      Partielle Ableitungen 2. Ordnung erhalten Sie aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung, indem Sie diese partiell differenzieren.

      

Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R von n Variablen mit ihrerseits partiell differenzierbaren partiellen Ableitungen 1. Ordnung StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals f Subscript x Sub Subscript i sind für i comma k equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n die partiellen Ableitungen 2. Ordnung von f durch

StartFraction partial-differential Over partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction right-parenthesis equals colon StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon f Subscript x Sub Subscript i Subscript x Sub Subscript k Subscript Baseline StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Superscript 2 Baseline EndFraction period

      Falls die entsprechenden partiellen Ableitungen existieren, erhalten Sie auf diese Art beliebige partielle Ableitungen höherer Ordnung. Zum Beispiel die partiellen Ableitungen 3. Ordnung:

StartFraction partial-differential Over partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript j Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction right-parenthesis equals colon StartFraction partial-differential cubed f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript j Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction equals colon f Subscript x Sub Subscript i Subscript x Sub Subscript j Subscript x Sub Subscript k Subscript Baseline

      für i comma j comma k equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n.

       Ein Beispiel:

      Zur reellwertigen Funktion f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x 1 comma </p> </div><hr> <div class= Скачать книгу