Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

besitzt, wird im folgenden Abschnitt erläutert.

      Was heißt das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit

      Die meisten grundlegenden Begriffe der Analysis werden über geeignete Grenzwerte definiert. Beispiele dafür sind Stetigkeit, Ableitung und Integral einer Funktion. Solche Definitionen sind zwar aus formaler mathematischer Sicht präzise und klar, aber oft für die praktische Anwendung ziemlich unhandlich. Damit Sie Ableitungen oder Integrale tatsächlich berechnen können, braucht es zusätzliche Rechenregeln und Eigenschaften.

      Im Falle der totalen Ableitung können Sie direkt aus der Grenzwertdefinition einige grundlegende Eigenschaften erkennen, die etwas mehr Licht auf die Sache werfen.

       Für eine Funktion und einen inneren Punkt sind die folgende Aussagen äquivalent:

       Die Funktion ist (total) differenzierbar in .

       Es gilt mit .

       Es gilt mit .

      Die dritte Aussage ist sehr technisch und wahrscheinlich für Sie selten von Nutzen. Dagegen liefert die zweite der drei äquivalenten Aussagen die schon im vorigen Abschnitt erwähnte anschauliche geometrische Beschreibung der totalen Differenzierbarkeit und der Jacobi-Matrix von als Matrix der sich an der Stelle annähernden affin linearen Abbildung.

Eine Abbildung heißt affin lineare Abbildung, wenn sie als Summe einer gewöhnlichen linearen Abbildung mit Matrix und eines konstanten Vektors geschrieben werden kann.

      Mit dieser Definition bedeutet die Aussage

      nichts anderes, als dass Sie durch die affin lineare Abbildung

      annähern können. Sie machen dabei einen Fehler , der für gegen null geht.

       Kurz gesagt: Nah der Stelle sieht eine (total) differenzierbare Funktion wie eine affin lineare Abbildung aus.

      Je nach den Dimensionen der beteiligten Räume und sehen die Jacobi-Matrizen unterschiedlich aus und entarten in zwei Spezialfällen sogar zu Vektoren:

       Der Fall : Die Abbildung beschreibt eine Kurve im -dimensionalen Raum. Die Ableitung entspricht einer sich im Kurvenpunkt an die durch beschriebene Kurve annähernden Geraden. Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall eine einspaltige Matrix: ein Spaltenvektor.

       Der Fall : Es handelt sich hier um eine reellwertige Funktion von Veränderlichen. Stellen Sie sich dabei zum Beispiel eine Funktion vor, die die Temperatur (eine Zahl) an jedem Punkt im Raum beschreibt. Die Matrix entspricht in so einem Fall einem Zeilenvektor des , dem transponierten Gradienten:Mehr zum Gradienten einer reellwertigen Funktion finden Sie im Abschnitt »Praktische Berechnung der totalen Ableitung« weiter unten in diesem Kapitel.

      Und geometrisch ist das auch!

      Im Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1 wird die geometrische Bedeutung der Ableitung einer reellwertigen Funktion von einer reellen Variablen als Steigung der Tangente beschrieben. Genau wie im allgemeinen Fall im letzten Abschnitt können Sie im eindimensionalen Fall eine differenzierbare Funktion in der Nähe der Stelle durch die affin lineare Funktion

annähern: Diese affine Funktion ist die Tangente an den Graphen von an der Stelle , die in Abbildung 2.4 dargestellt ist.

Abbildung 2.4: Die Tangente

zum Graphen von

an der Stelle

Die Jacobi-Matrix entspricht in diesem Spezialfall einer -Matrix, also einer Zahl, nämlich der Ableitung .