Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

zur Berechnung partieller Ableitungen ist nicht notwendig, sondern nur eine Hilfe. Falls Sie sich sicher fühlen, dürfen Sie auch direkt »in der Funktion « nach der entsprechenden Variablen ableiten.

      Hierzu ein Beispiel: Die Gasdruckfunktion aus dem Abschnitt »Viele Variablen und ein Funktionswert« am Anfang dieses Kapitels hat die partiellen Ableitungen:

      Sie sehen: Die Berechnung partieller Ableitungen ist genauso einfach, wie die Berechnung der Ableitung einer reellwertigen Funktion einer einzigen Variablen. Sie müssen dabei nur die jeweils anderen Variablen für den Moment als festgehaltene Parameter betrachten. Für eine »eindimensionale« Funktion ist die partielle Ableitung

      sogar genau dasselbe wie die gewöhnliche Ableitung dieser Funktion.

       Bei der Berechnung von partiellen Ableitungen dürfen Sie die Rechenregeln für gewöhnliche Ableitungen verwenden.

Allerdings dürfen Sie nicht alle Eigenschaften, die Sie für »eindimensionale« Funktionen automatisch aus deren Differenzierbarkeit erhalten, auch für partiell differenzierbare Funktionen erwarten.

       Auch wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen einer Funktion über die Berechnung der gewöhnlichen Ableitungen entsprechender »eindimensionaler« Funktionen erfolgt, gibt es doch deutliche Unterschiede in den Ableitungsbegriffen.

      Es gilt beispielsweise, dass eine an einer Stelle differenzierbare »eindimensionale« Funktion dort auch stetig sein muss. Das gilt für nur partiell differenzierbare Funktionen selbst dann nicht, wenn alle partiellen Ableitungen an einer Stelle existieren:

      Ein Beispiel: Die Funktion

      ist an der Stelle nach dem Beispiel im Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« nicht stetig. Allerdings existieren die beiden partiellen Ableitungen an dieser Stelle:

      und

      Anschaulich können Sie sich das so vorstellen, dass die Unstetigkeit von an der Stelle weder in der –Richtung noch in –Richtung auftritt. Eingeschränkt auf eine dieser Richtungen ist die dadurch entstehende »eindimensionale« Funktion differenzierbar und daher auch stetig. Wenn Sie sich aber wie im Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« der Stelle etwa aus Richtung der Winkelhalbierenden nähern, dann springt an dieser Stelle.

      Die beiden partiellen Ableitungen enthalten also in einem gewissen Sinne zu wenig Informationen über die Funktion . Die Rolle der üblichen Ableitung einer »eindimensionalen« Funktion übernimmt für »mehrdimensionale« Funktionen die sogenannte totale Ableitung, kurz einfach »Ableitung« genannt, die im folgenden Abschnitt behandelt wird.

      Partielle Ableitungen von Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen

Bislang sind in diesem Abschnitt partielle Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Variablen betrachtet worden. Sie können den Begriff der partiellen Ableitung aber fast direkt auf Funktionen zwischen mehrdimensionalen Räumen übertragen. Eine solche vektorwertige Funktion besteht nach dem Abschnitt »Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen« aus den Komponentenfunktionen . Jede Komponentenfunktion ist eine reellwertige Funktion von