Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Argumente der Funktionen auftreten. Wichtig wird das zum Beispiel dann, wenn Sie Zahlenwerte für und einsetzen wollen. Dann müssen Sie bei zuerst die Temperatur und dann das Molvolumen einsetzen, bei ist es genau umgekehrt.

       Im Allgemeinen ist die Reihenfolge der verschiedenen Variablen einer Funktion wichtig. Insbesondere beim Einsetzen von Zahlenwerten oder bei der Berechnung von Ableitungen müssen Sie die Reihenfolge beachten.

      Einmal sehen ist besser als hundertmal hören: Graphische Darstellung

      Im Spezialfall einer reellwertigen Funktion einer einzigen Variablen liefert der Graph der Funktion meistens eine sehr anschauliche Darstellung der Funktion , an der Sie viele Eigenschaften von sehen können.

      Der Graph einer Funktion von Variablen, , ist immer eine Teilmenge von . Für Funktionen einer Variablen ist der Graph also ein Objekt im zweidimensionalen Raum, das sich mehr oder weniger exakt in einem Bild darstellen lässt.

      Für , das heißt für Funktionen von zwei Variablen, ist der Graph ein Objekt im dreidimensionalen Raum. Dieses kann in den zweidimensionalen Raum projiziert werden. Am besten stellen Sie sich solch eine Projektion wie eine Fotografie vor: Die dreidimensionale Welt wird in einem zweidimensionalen Foto abgebildet. Genau wie in einem Foto beispielsweise bestimmte Teile eines Gegenstands durch andere verdeckt sein können, können bei der Abbildung eines Graphen Details verloren gehen. Immerhin ist die Darstellung möglich und anschaulich genug, dass Sie meistens ein Gefühl für die Funktion bekommen können.

Abbildung 2.1 zeigt den Graphen der Funktion aus dem obigen Beispiel für den Gasdruck. Dabei sind die Konstanten und passend für das Gas Helium gewählt. Zur besseren Darstellung wurde der Graph hier eingefärbt: Dunkle Graustufen stehen für niedrige Funktionswerte, helle für höhere. Sie erhalten dadurch tatsächlich einen recht guten Eindruck vom Verlauf der Funktion.

      Für Funktionen von mehr als zwei Variablen ist das leider nicht mehr möglich. Zwar können Sie auch in solchen Fällen eine Projektion in den zweidimensionalen Raum verwenden, aber Sie brauchen viel Erfahrung, um von solchen Projektionen auf die wahre Form der hochdimensionalen Objekte zu schließen. Unser Erfahrungsraum ist eben dreidimensional.

      Allerdings gibt es eine andere Darstellungsform, die auch für reellwertige Funktionen von drei Variablen eine gewisse Veranschaulichung erlaubt: die graphische Darstellung ihrer Niveauflächen. Als Niveauflächen werden die Teilmengen aus dem Definitionsbereich der betreffenden Funktion bezeichnet, auf denen die Funktion konstant ist.

Abbildung 2.1: Der Graph der Funktion

      

Die Niveaufläche einer Funktion zum Niveau ist die Menge

      Für eine Funktion von zwei Variablen sind das beispielsweise die Höhenlinien. Bei Funktionen von mehr als zwei Variablen handelt es sich dagegen tatsächlich meist um mehrdimensionale Flächen.

Für Funktionen zweier Variablen können leicht gleichzeitig verschiedene Niveauflächen dargestellt werden. Jede topographische Karte entspricht einer Darstellung der Höhenlinien der »Höhenfunktion«, daher werden für Funktionen von zwei Variablen die Niveauflächen meistens anschaulich Höhenlinien genannt. Abbildung 2.2 zeigt links die Höhenlinien der Gasdruckfunktion aus dem obigen Beispiel, deren Graph in Abbildung 2.1 zu sehen ist.

      Sie können auch beide Darstellungen miteinander kombinieren und einzelne Höhenlinien auf dem Graphen einzeichnen. Oft erhalten Sie dadurch ein besseres Bild des Graphen. Die rechte Grafik in Abbildung 2.2 zeigt diese Kombination für das Gasdruckbeispiel.

Für Funktionen von drei Variablen ist das nicht ganz so einfach. Hier können meist nur sehr wenige Niveauflächen gleichzeitig dargestellt werden, um die Übersichtlichkeit zu bewahren. Abbildung 2.3 zeigt drei Niveauflächen der Funktion . Die Niveauflächen dieser Funktion sind konzentrische Kugeln mit Mittelpunkt , um mehrere davon gleichzeitig zu sehen, muss ein Schnitt durch die einzelnen Flächen dargestellt werden.

Abbildung 2.2: Links: Höhenlinien, rechts: Graph mit Höhenlinien für