Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

, nicht die Umkehrung.

      Außerdem kann eine Funktion eine lokale Extremstelle in einem Punkt ihres Definitionsbereichs haben, ohne dort differenzierbar zu sein.

      Bei der Suche nach den lokalen oder globalen Maxima und Minima einer Funktion auf einem Intervall sind die stationären Punkte mögliche Kandidaten. Da aber nicht jeder stationäre Punkt auch eine Extremstelle ist, müssen diese Punkte weiter untersucht werden.

      Die zweite Ableitung ist ein Hilfsmittel, mit dem Sie an kritischen Punkten entscheiden können, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt.

       Ist die Funktion auf dem offenen Intervall zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für Punkte :

       Ist und , so ist eine lokale Maximalstelle.

       Ist und , so ist eine lokale Minimalstelle.

Ist , dann können Sie nicht direkt entscheiden, ob ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt.

      

Ein kritischer Punkt der Definitionsmenge einer differenzierbaren Funktion , der weder eine Minimalstelle noch eine Maximalstelle von ist, heißt Sattelpunkt von .

      Sattelpunkte sind Spezialfälle von Wendepunkten, die gleichzeitig kritische Punkte sind. An Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt.

      

Ist ein Punkt der Definitionsmenge einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mit und hat die zweite Ableitung links von ein anderes Vorzeichen als rechts von , das heißt, gilt entweder

      oder

      dann heißt Wendepunkt von . Dabei werden nur in einer kleinen Umgebung von betrachtet.

      Ärgerlicherweise reicht für einen Sattelpunkt die Bedingung nicht aus – es könnte sich immer noch um eine Extremstelle handeln. Um das zu klären, müssen Sie die Funktion weiter untersuchen.

       Ist genügend oft stetig differenzierbar und verschwinden die ersten Ableitungen aber die -te Ableitung nicht, dann besitzt an der Stelle einen Sattelpunkt, falls eine gerade Zahl ist. Ist eine ungerade Zahl, also gerade, dann hat an der Stelle ein Extremum und das Vorzeichen von gibt an, ob es sich um ein Maximum () oder ein Minimum () handelt.

      Dabei ist in diesem Zusammenhang die Funktion genügend oft stetig differenzierbar, wenn sie mindestens -mal stetig differenzierbar ist.

      Integration

      Neben der Differentialrechnung ist die Integralrechnung der zweite große und sehr wichtige Themenbereich in der Analysis. In einer Hinsicht ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung: Für eine gegebene Funktion